Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 10
à rendre le jeudi 10 mars 2011
Polynômes
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte un problème sur les polynômes.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no10 PCSI 2010-2011
Problème
Autour des polynômes de Hilbert
On pose
H0=1 et,∀k∈N∗, Hk= 1 k!
k−1
Y
ℓ=0
(X−ℓ)= X(X−1)· · ·(X −k+1) k!
On définit ainsi une famille de polynômes réels (Hk)n∈Nappeléspolynômes de Hilbert. Les parties 1.et2.exposent quelques résultats fondamentaux liés aux polynômes d’Hilbert. Ces propriétés classiques seront largement utilisées dans les parties3.et4.qui sont indépendantes l’une de l’autre. La partie5.n’utilise que la première question de la partie3.
Partie 1 — Décomposition d’un polynôme dans la base de Hilbert
Pour tout entier natureln, on noteEn=Rn[X].
1. 1. Soitn∈N. Etablir queBn=(H0,H1, . . . ,Hn) est une base deEn.
1. 2. Vérifier que∆:R[X]→R[X] qui àP∈R[X] associe∆(P)=P(X +1)−P(X) définit un endomorphisme de l’espace vectoriel réelR[X].
1. 3. Calcul des coordonnées d’un polynôme P de Endans la baseBn. Cette question a pour but de montrer que
∀P∈En, P=
n
X
k=0
³
∆k(P)´
(0)·Hk
où∆kdésigne lak-ième puissance de∆pour la composition des endomorphismes.
1. 3. a. Calculer∆(H0).
1. 3. b. Soit 1ÉℓÉn. Etablir que∆(Hℓ)=Hℓ−1.
1. 3. c. En déduire, pour tous 0ÉℓÉnet 0ÉkÉn, que
∆k(Hℓ)=
0 sik>ℓ
Hℓ−k sikÉℓ puis que
³
∆k(Hℓ)´ (0)=
0 sik6=ℓ
1 sik=ℓ 1. 3. d. En déduire que,∀0ÉℓÉn,
Hℓ=
n
X
k=0
³
∆k(Hℓ)
´
(0)·Hk
1. 3. e. Conclure.
1. 4. Application numérique. DécomposerX2+X+1 dans la base (H0,H1,H2) deR2[X].
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Partie 2 — Etude de l’endomorphisme∆deR[X]
On rappelle que l’endomorphisme∆:R[X]→R[X] est défini par∆(P)=P(X+1)−P(X).
2. 1. Calculer Ker(∆). Peut-on en conclure que∆n’est pas surjectif ? 2. 2. Soitn∈N. On note∆nla restriction de∆àEn=Rn[X].
2. 2. a. Justifier que∆n∈L(En).
2. 2. b. Déterminer Im(∆n). On pourra utiliser les résultats des questions1.3.a.et1.3.b.
2. 2. c. En déduire que∆est un endomorphisme surjectif deR[X].
2. 3. Application numérique. On recherche dans cette questiontousles polynômesQde l’espace vectorielR[X] vérifiant∆(Q)=X2+X+1.
2. 3. a. Trouver une solution particulièreQ0de∆(Q)=X2+X+1. On utilisera le résultat de la question1.4.
2. 3. b. Conclure.
Partie 3 — Application aux polynômes réels tels queP(N)⊂Z
On se propose decaractériser, au moyen des polynômes de Hilbert, les polynômes réelsPtels que P(N)⊂Z, c’est-à-dire tels que
∀k∈N, P(k)∈Z 3. 1. Soientℓetkdeux entiers naturels. Etablir que
Hk(ℓ)=
0 sik>ℓ
Ãℓ k
!
sikÉℓ
3. 2. SoitP∈R[X] tel queP(N)⊂Z. Etablir que∀k∈N,¡
∆k(P)¢
(0)∈Z.
3. 3. Soientn∈NetPun polynôme réel appartenant àEn=Rn[X]. Déduire de ce qui précède l’équivalence des deux propositions suivantes :
1. P est une combinaison linéaire à coefficients entiers relatifsdeH0,H1, . . . ,Hn;
2. P(N)⊂Z.
Partie 4 — Application à une suite récurrente polynomiale
Soit (uk)k∈Nune suitefixéede nombres réels telle qu’il existe un polynômeP réel vérifiant
∀k∈N, uk+1=uk+P(k)
4. 1. Etablir qu’un tel polynômePest unique.
4. 2. Etude de trois cas particuliers.
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4. 2. a. Que dire de (uk)k∈NlorsqueP=0 ?
4. 2. b. Calculeruken fonction deketu0lorsqueP(X)=1.
4. 2. c. Calculeruken fonction deketu0lorsqueP(X)=X. On pourra effectuer un telescopage à partir deuk+1−uk.
4. 3. On suppose iciPde degrénÊ0.
4. 3. a. Etablir l’existence d’un polynôme réelQtel que
∀k∈N, Q(k+1)−Q(k)=P(k) 4. 3. b. Que dire de la suite de terme généralvk=uk−Q(k) ? 4. 3. c. En déduire l’existence deλ∈Rtel que
∀k∈N, uk=λ+Q(k)
4. 4. Application numérique. Détermineruken fonction deketu0lorsqueP(X)=X2+X+1.
Partie 5 — Factorisation d’un polynôme
Pour tout entier natureln, on pose
Tn=
n
X
k=0
(−1)k·Hk
5. 1. Déduire de la question3.1.que
∀1ÉℓÉn, Tn(ℓ)=0 5. 2. Etablir qu’il existeλ∈Rtel que
Tn=λ·
n
Y
ℓ=1
(X−ℓ)
5. 3. Justifier queλ=(−1)n· 1 n!. 5. 4. Vérifier que
∀n∈N, Tn=(−1)n·Hn(X−1)
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