Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Composition n o 2
18 octobre 2010
de 9h15 à 12h15
Sommes, produits et fonctions usuelles
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le préci- sera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte six exercices sur les fonctions usuelles.
Paris XVIe 2010-2011
Composition de Mathématiques no2 PCSI 2010-2011
Exercice 1 — Une belle formule
Montrer que
arctan(2)+arctan(5)+arctan(8)=5π 4
Exercice 2 — Une équation
Résoudre l’équation
arcsin(2·x)+arcsin(x)= π 2
REMARQUE–Attention à la rigueur ! Vous commencerez par déterminer l’ensemble de définition du membre de gauche de l’équation.
Exercice 3 — Une suite récurrente et une série Soit (un)nÊ0la suite définie par
½u0=1
∀n∈N, un+1=un·e−un Pour tout entier natureln, on pose
Sn=
n
X
k=0
uk
On rappelle le théorème des suites monotones :toute suite décroissante et minorée(un)nÊ0admet une limite réelleℓquand n tend vers+∞.
1. Etude de(un)nÊ0.
1.a. Etablir que, pour tout entier natureln,un>0.
1.b. En déduire que la suite (un)nÊ0est strictement décroissante.
1.c. En déduire que (un)nÊ0admet une une limite réelleℓquandntend vers+∞. 1.d. Justifier queℓ=ℓ·e−ℓpuis en déduire la valeur deℓ.
2. Etude de(Sn)nÊ0. 2.a. Etablir que
∀n∈N, Sn= −ℓn(un+1) 2.b. En déduire le comportement deSnquandntend vers+∞.
http://lkcz.free.fr 2
Composition de Mathématiques no2 PCSI 2010-2011
Exercice 4 — Une suite de polynômes
Pour tout entier naturelnet tout réelx, on pose Pn(x)=
n
Y
k=0
³
x2k+1´ 1. Simplification de Pn.
1.a. DévelopperP0,P1,P2etP3.
1.b. Soitn∈N. Calculer le degré dePnen fonction den.
1.c. Soientn∈Netx∈R. Conjecturer puis prouver une expression dePn(x) sous la forme d’une série géométrique.
1.d. SimplifierPn(x) pour tousn∈Netx∈R.
2. Soitx∈R. Etudier le comportement dePn(x) quandntend vers+∞.
Exercice 5 — Polynômes de Tchebychev
Soitn∈N. On considère la fonction fnd’une variable réelle définie par fn(x)=cos (n·arccos(x))
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction fn, qu’on noteraD.
2. Résoudre l’équation fn(x)=0 surD.
3. Montrer que, pour tout réelθ, fn(cos(θ))=cos(n·θ).
4. Exprimer en fonction du réelx∈D, le plus simplement possible et sans utiliser les fonctions cos et arccos, les réelsf0(x), f1(x), f2(x), f3(x), etf4(x). On pourra poserθ=arccos(x).
5. Ecrire cos(n·θ)+cos ((n+2)·θ) comme un produit. En déduire une relation, pour toutx∈D, entrefn(x), fn+1(x), fn+2(x) etx.
N’oubliez pas de tourner la page...
http://lkcz.free.fr 3
Composition de Mathématiques no2 PCSI 2010-2011
Exercice 6 — Somme d’une série infinie
Soitpun entier naturel supérieur ou égal à 2. Pour tout entier natureln, on pose un= 1
¡n+p n
¢ et Sn=
n
X
k=0
uk
En cas d’existence de la limite, on notera
+∞
X
n=0
1
¡n+p n
¢= lim
n→+∞(Sn)= lim
n→+∞
à n
X
k=0
1
¡k+p k
¢
!
1. Calcul d’une limite.
1.a. Montrer que, pour tout entier natureln,
0ÉunÉ p!
np
1.b. En déduire l’existence et la valeur de la limite de (n+p+1)·un+1lorsquentend vers+∞. 2. Calcul de Sn.
2.a. Simplifieruk+1
uk pour tout entier naturelk.
2.b. En déduire que, pour tout entier naturelk,
(k+1)·uk+1−k·uk=uk−p·uk+1
2.c. En déduire que, pour tout entier natureln,
Sn=p−(n+p+1)·un+1
p−1 3. Calcul de la somme d’une série.
Prouver l’existence et déterminer la valeur de
+∞
X
n=0
1
¡n+p n
¢
THE END
http://lkcz.free.fr 4
