Devoir libre n

Lycée Jean-Baptiste Say PCSI

Mathématiques

Devoir libre n ^o 15

à rendre le jeudi 05 mai 2011

Fonctions dérivables

Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.

Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.

Ï L’épreuve comporte six exercices sur les fonctions dérivables.

Paris XVI^e 2010-2011

Devoir libre de Mathématiques n^o15 PCSI 2010-2011

Exercice 1 — Dérivées successives de l’arcsinus Soitf la fonction définie par

f : ]−1, 1[−→R

x 7−→ 1

p1−x²

On noteraI =]−1, 1[. Chacun aura reconnu enf la dérivée de la fonction arcsinus.

1. Montrer que f est de classeC∞surIet que , pout toutn∈N, sa dérivéen-ème s’écrit f⁽ⁿ⁾(x)= P_n(x)

(1−x²)ⁿ⁺¹² oùP_nest un polynôme réel.

2. Montrer que le monôme de plus haut degré deP_nestn!·Xⁿ. 3. Prouver que∀x∈I

(1−x²)·f^′(x)−x·f(x)=0 4. Prouver, en utilisant la formule de Leibniz, que pour toutnÊ1,

P_n+1(X)=(2n+1)·X·P_n(X)+n²·¡

1−X²¢

·P_n−1(X) 5. En déduire la valeur dePn(0) pour toutn∈N.

REMARQUE–On distinguera les cas n pair et n impair et on exprimera le résultat sous la forme d’un quotient de factorielles.

6. Prouver que pour toutnÊ1 et toutx∈I

P_n^′(X)=n²·P_n−1(X)

7. En déduire une technique de calcul des polynômesPn. A titre d’exemple, expliciterf⁽⁵⁾(x) pour toutxréel.

Exercice 2 — Posé à l’X en PC en 2010

On se propose de trouver tous les couples de fonctions (f,g) telles que f :R→Retg:R→R,g est continue et

∀(x,y)∈R², f(x)−f(y) = (x−y)·g³x+y 2

´ (⋆) 1. Soit(f,g)un couple solution.

1.a. Etablir quef est dérivable surRet déterminer f^′. 1.b. Montrer que, pour tousxetyréels, on a

g³x+y 2

´

= 1 2·g

µ3·x+y 4

¶ +1

2·g

µx+3·y 4

¶

On pourra appliquer l’égalité (⋆) aux couples

³

x,x+y 2

´ et

³x+y 2 ,y

´ .

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1.c. En déduire que, pour tousuetv dansR, on a g³u+v

2

´

= g(u)+g(v) 2 (⋆⋆) 1.d. Etablir que, pour tout réelx, on a

g(x) = f(x+1)−f(x−1) 2

En déduire queg est dérivable.

1.e. Etablir queg^′est constante. On pourra utiliser avec discernement l’égalité (⋆⋆).

1.f. Etablir quef est polynomiale du second degré.

2. Déterminer tous les couples (f,g) solutions.

Exercice 3 — Posé à Centrale dans la filière PSI en 2010

Soienta<bdeux réels etf : [a,b]→Rdérivable telle quef(a)=f(b)=0. Soitd∈R\ [a,b].

Montrer qu’il existe une tangente au graphe def passant par le point de coordonnées (d, 0).

Exercice 4 — D’après un sujet d’oral posé à Centrale en 2009 dans la filière PSI Soitf :R→Rcontinue et dérivable en un pointa∈R. Soient (u_n)_nÊ0et (v_n)_nÊ0deux suites convergeant versatelles que, pour tout entier natureln,u_n6=v_n. Pour toutn∈N, on pose

t_n = f(u_n)−f(v_n) u_n−v_n

1. On suppose dans cette question que f est de classeC¹au voisinage dea. Prouver la convergence et déterminer la limite de (t_n)_nÊ0.

2. Donner un exemple de fonctionf vérifiant les hypothèses mais telle que (t_n)_nÊ0n’admet pas de limite.

3. On suppose dans cette question que

∀n∈N,

½u_n < a v_n > a On pose

αn = v_n−a

v_n−u_n et βn = a−u_n v_n−u_n

3.a. Vérifier queαn+βn=1 et déterminer le signe deαnetβnpour tout entier natureln. 3.b. Etablir que, pour tout entier natureln, on a

tn = αn·f(vn)−f(a)

v_n−a +βn·f(un)−f(a) u_n−a 3.c. En déduire la convergence et la limite de (t_n)_nÊ0.

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Exercice 5 — D’après un sujet posé à l’oral de Centrale dans la filière PSI en 2008

Soitf :R^∗₊→Rune fonction dérivable telle que

x·f^′(x)−−−−−→_x

→+∞ 1 On va établir que

f(x)−−−−−→_x

→+∞ +∞

1. Prouver le résultat en supposant de plus que f est de classeC¹_surR∗

+. On pourra utiliser des encadrements et des intégrales.

2. On revient au cas oùf est seulement supposée dérivable surR^∗₊. 2.a. Justifier l’existence den₀∈N^∗tel quef soit croissante sur [n₀,+∞[.

2.b. Que peut-on en déduire quand au comportement def(x) quandxtend vers+∞? 2.c. Etablir que

f(x+1)−f(x) ∼

+∞

1 x 2.d. En déduire l’existence den₁∈N^∗tel que

∀nÊn₁, f(n+1)−f(n)Ê 1 2·n 2.e. En déduire l’existence deA>0 etB∈Rtels que

∀nÊn₁, f(n+1)ÊA·ℓn(n+1)+B 2.f. En déduire que

f(x)−−−−−→_x

→+∞ +∞

Exercice 6 — Posé à l’oral de l’X dans la filière PC en 2009

On recherche les fonctionsf :R→Rde classeC¹_{telles que}

∀x∈R, ¡ f ◦f¢

(x) = x 2+1

1. Soita∈R. Etudier le comportement asymptotique de la suite définie par







u₀ = a u_n+1 = u_n

2 +1

2. Résoudre le problème posé. On pourra commencer par simplifier (f ◦f ◦f)(x) pour toutxréel.

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