Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 16
à rendre le jeudi 26 mai 2011
Intégration
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte un problème sur les intégrales.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no16 PCSI 2010-2011
Problème
Développement asymptotique de la factorielle
Ce sujet est librement inspiré de la première épreuve de Mathématiques posée en 2011 au concours Centrale-Supélec dans la filière PSI. La première partie expose les rudiments de la théorie des séries à termes positifs (il s’agit du début du cours de deuxième année sur les séries).
Dans une deuxième partie, on étudie quelques propriétés classiques des intégrales de Wallis. On appliquera dans une troisième et dernière partie les différents résultats obtenus afin d’établir l’équivalent de Stirling :
n! ∼
p2πn·³n e
´n
et même un peu plus, un développement asymptotique à deux termes de la factorielle.
Partie 1 — Séries à termes positifs
Soit (un)nÊ0∈RNetn0∈N.
Ï On dit que la série X
nÊn0
unest convergente si la suite
à n X
k=n0
uk
!
nÊn0
est convergente. On dit la série est divergente dans le cas contraire.
Ï Les convergences des séries
X
nÊn0
un et X
nÊn1
un
sont clairement équivalentes pour tout (n0,n1)∈N2. Pour évoquer la convergence d’une série, on peut donc noter plus simplementPunsans préciser la valeur minimale de l’indicen.
Ï En cas de convergence dePun, on note, pour toutn0∈N,
+∞X
k=n0
uk = lim
n→+∞
n
X
k=n0
uk
Cette limite est appelée somme de la série X
nÊn0
un.
Ï On adapte sans peine ces définitions et propriétés au cas d’une suite (un)nÊn′ de nombres réels définie à partir d’un rangn′.
http://lkcz.free.fr 2
Devoir libre de Mathématiques no16 PCSI 2010-2011
1. 1. Séries à termes positifs.
On considère dans cette question (un)nÊ0∈(R+)N. Pour tout entier natureln, on pose
Sn =
n
X
k=0
uk
1. 1. a. Montrer que
un−−−−−→n
→+∞ 0 est une condition nécessaire de convergence de la sériePun. 1. 1. b. Montrer que (Sn)nÊ0est croissante.
1. 1. c. En déduire que la sériePunest convergentesi et seulement si(Sn)nÊ0est majorée.
1. 1. d. Soit (un)nÊ0et (vn)nÊ0deux suites à termes positifs telles que
∀n∈N, unÉvn On suppose quePvnconverge. Etablir quePunconverge.
1. 1. e. On reprend les notations de la question précédente mais on suppose ici quePundiverge.
Etablir quePundiverge.
1. 2. Exemple des séries de Riemann.
Soitα>0. Pour tout entier natureln∈N∗, on pose que
un = 1
nα et Sn=
n
X
k=1
uk
1. 2. a. Soitn∈N∗. EncadrerSnen appliquant la méthode des rectangles.
1. 2. b. En déduire que la sériePunconvergesi et seulement siα>1.
1. 2. c. La condition nécessaire de convergence trouvée à la question1.1.a.est-elle suffisante ?
Partie 2 — Intégrales de Wallis
Pour tout entier natureln, on pose
In= Zπ/2
0
sinn(t)dt 2. 1. Relation de récurrence et calcul deIn.
2. 1. a. Trouver une relation de récurrence vérifiée par (In)nÊ0. 2. 1. b. CalculerInpour tout entier natureln.
2. 2. Equivalent deIn. 2. 2. a. Montrer que
∀n∈N∗, n·In·In
−1= π 2 2. 2. b. Déterminer le sens de variation de (In)nÊ0.
2. 2. c. Etablir que
In ∼ r π
2n On pourra encadrerInen utilisant les résultats précédents.
http://lkcz.free.fr 3
Devoir libre de Mathématiques no16 PCSI 2010-2011
Partie 3 — Formule de Stirling
Pour tout entier naturelkÊ2, on pose
uk =ℓn(k)− Zk
k−1
ℓn(t)dt
3. 1. Développement asymptotique du logarithme népérien de la factorielle.
3. 1. a. A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que, pour toutk∈Ntel quekÊ2,
uk=
ℓn(k)−ℓn(k−1)
2 −1
2· Zk
k−1
(t−k+1)·(k−t) t2
dt
Pour tout entier naturelkÊ2, on pose
wk = Zk
k−1
(t−k+1)·(k−t)
t2 dt
3. 1. b. Montrer que
∀kÊ2, 0ÉwkÉ 1 (k−1)2 et en déduire la convergence de la sériePwk.
3. 1. c. Etablir l’existence d’un réelatel que
ℓn(n!) = nℓn(n)−n+ ℓn(n)
2 +a+vn où l’on a posé, pour toutn∈N∗,
vn=
+∞X
k=n+1
wk
3. 1. d. En utilisant encore une intégration par parties, montrer que
¯
¯
¯
¯ wk −
Zk
k−1
1 t2
¯
¯
¯
¯É 1 6·
Zk
k−1
dt t3 3. 1. e. En déduire que
¯
¯
¯
¯
vn− 1 12n
¯
¯
¯
¯É 1 12n2 puis que
ℓn(n!) = nℓn(n)−n+ ℓn(n)
2 +a+ 1 12n+O
µ 1 n2
¶
3. 2. Equivalent de Stirling.
3. 2. a. Etablir que
n!∼e
a·pn·
³n e
´n
3. 2. b. En utilisant la partie II, trouver un équivalent deI2nen fonction deapuis en déduire la valeur du réela.
3. 2. c. En conclure que
n! ∼
p2πn·
³n e
´n et plus précisément que
n!=p
2πn·³n e
´n
· µ
1+ 1 12n+O
µ 1 12n2
¶¶
http://lkcz.free.fr 4
