Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 5
à rendre le lundi 03 janvier 2010
Dénombrement
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte deux problèmes de dénombrement.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no5 PCSI 2010-2011
Problème no1
Chemins de Dyck et nombres de Catalan
Le plan est rapporté à un repère¡
O,#–u,#–v¢. Pour tout entiernÊ1, on appelle chemin de Dyck de longueur 2ntoute suite (S0,S1, . . . ,S2n) de points du plan vérifiant les conditions suivantes :
Ï pour tout 0ÉkÉ2n, les coordonnées deSksont des entiers positifs ; Ï S0(0, 0) etS2n(2n, 0) ;
Ï pour toutk∈{0, 1, . . . , 2n−1},Sk+1est l’image deSk par la translation de vecteur#–u+#–v ou de vecteur#–u −#–v.
Voici l’exemple d’un chemin de Dyck de longueur 12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
2 3 4
0
On notecnle nombre de chemins de Dyck de longueur 2n, pour toutnÊ1. Par convention, on posec0=1. Pour tout chemin de DyckC =(S0,S1, . . . ,S2n) de longueur 2n, on notek(C) le plus petit entier tel queSk(C)soit d’ordonnée nulle et d’abscisse non nulle (dans le cas du chemin de DyckC représenté ci-dessus,k(C)=8).
Partie 1 — Préliminaires
1. 1. Représenter tous les chemins de Dyck de longueur 2 et 4 et déterminerc1etc2.
1. 2. Justifier que, pour tout chemin de DyckC,k(C) est un entier pair compris entre 2 et 2n.
1. 3. Montrer que le nombre de chemins de DyckC de longueur 2ntels quek(C)=2nest égal àcn−1.
1. 4. Montrer que le nombre de chemins de DyckC de longueur 2ntels quek(C)=2pavec p∈{1, . . . ,n−1} est égal àcp−1·cn−p.
1. 5. En déduire la relation :
cn=
n−1
X
k=0
ck·cn−1−k
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Partie 2 — Nombres de Catalan
Les nombrescnintroduits dans la partie1sont appelés nombres de Catalan. Ils sont définis par c0=1 et la relation de récurrence :
cn+1=
n
X
k=0
ck·cn−k, pour toutn∈N
On pose, pour toutn∈N:
an= (2n)!
n!·(n+1)!
Sn=
n
X
k=0
ak·an−k
Tn=
n
X
k=0
k·ak·an−k
2. 1. Montrer que, pour toutn∈N,
(n+2)an+1=2·(2n+1)·an
2. 2. Montrer que, pour toutn∈N,
Tn=
n
X
k=0
(n−k)·ak·an−k
puis que 2·Tn=n·Sn.
2. 3. Montrer que, pour toutn∈N,
Sn+1+Tn+1=an+1+4·Tn+2·Sn puis que
n+3
2 ·Sn+1=an+1+2·(n+1)·Sn 2. 4. Montrer par récurrence que, pour toutn∈N,Sn=an+1. 2. 5. En déduire que, pour toutn∈N,cn=an.
2. 6. Montrer que, pour toutn∈N∗,
cn= 1 n+1·
Ã2n n
!
= Ã2n
n
!
− Ã 2n
n−1
!
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Problème no2
Dénombrement de surjections
Soitnun entier strictement positif, dans tout le problème, on noteraNnl’ensemble des entiers naturels strictement positifs et inférieurs ou égaux àn. On désigne parSn,p le nombre
d’applications surjectives deNnsurNp.
Partie 1 — Etude de quelques cas particuliers
1. 1. CalculerSn,p pour p > n. CalculerSn,n,Sn,1,Sn,2.
1. 2. CalculerSp+1,p. On remarquera que, pour toute surjection f deNnsurNp, il existe un unique élémentr deNp ayant deux antécédents ; les éléments deNp\ {r} admettant exactement un antécédent parf.
Partie 2 — Relation de récurrence
2. 1. Démontrer que
∀k∈©
0, . . . ,p−1ª ,
p
X
q=k
(−1)q· Ãp
q
!
· Ãq
k
!
=0 2. 2. Etablir que
pn=
p
X
q=0
Ãp q
!
·Sn,q
On pourra écrireNNpn comme réunion des parties suivantes : Sq=©
f :Nn→Np , ¯
¯f(Nn)¯
¯=qª pour 0ÉqÉp.
2. 3. En déduire la formule
Sn,p=(−1)p·
p
X
k=0
(−1)k· Ãp
k
!
·kn
On pourra appliquer la formule de la question précédente àp=ken partant du membre de droite.
2. 4. En déduire que, sipÊ2,
Sn,p=p·¡
Sn−1,p+Sn−1,p−1
¢ 2. 5. Retrouver alors la valeur deSp+1,p puis montrer que
Sp+2,p= p·(3·p+1)
24 ·(p+2)!
2. 6. En s’inspirant du triangle de Pascal, montrer qu’on peut construire une table desSn,p. 2. 7. Calculer lesSn,p pour 0<pÉ7 et 0<nÉ7.
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