Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 13
à rendre le jeudi 07 avril 2011
Suites et fonctions continues
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte deux exercices d’analyse.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no13 PCSI 2010-2011
Exercice 1 — Posé à l’oral de Mines-Ponts dans la filière PSI en 2010
Soitn∈N. Pour toutn∈N, on noteunl’unique réel solution de l’équation x5+n·x−1=0
1. Justifier l’existence de (un)n∈N. 2. Etudier la monotonie de (un)n∈N. 3. Montrer que lim(un)=0.
4. Trouver un équivalent deun.
Exercice 2 — D’après un sujet d’oral posé en 2010 à l’X dans la filière PC Soita∈Rtel que|a| 6=1. On se pose le problème suivant : déterminer les fonctionsf :R→R continues en 0 telles que
∀x∈R, f(x)−f(a·x)=x
1. On suppose|a| <1. Soitf une fonction vérifiant les conditions précédentes.
1.a. Etablir que
∀n∈N, ∀x∈R, f(x)−f ¡
an+1·x¢
= Ã n
X
k=0
ak
!
·x
1.b. En déduire qu’il existeα∈Rtel que
∀x∈R, f(x)=α+ x 1−a 2. Résoudre le problème de l’énoncé lorsque|a| <1.
3. Résoudre le problème de l’énoncé dans le cas où|a| >1.
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Corrigé de l’exercice 1 — Posé à l’oral de Mines-Ponts dans la filière PSI en 2010
1. Pour tout entier natureln, notons fnR−→R
x 7−→x5+n·x−1
La fonctionf0ne s’annulle qu’au pointu0=1.
Pour tout entiern non nul, la fonction fn est dérivable surRen tant que fonction polyno- miale et
∀x∈R, fn′(x)=5·x4+n>0 Comme
n→±∞lim f(x)= ±∞
on déduit du théorème de la bijection que fn réalise une bijection strictement croissante de RsurR. Ainsi, il existe un uniqueun∈Rtel que fn(un)=0. Le suite (un)nÊ0est donc bien dé- finie.
2. Soitn∈N. Commefnest strictement crois- sante surRet vérifie fn(0)= −1<0= fn(un), on aun>0. Ainsi,
fn+1(un)=fn+1(un)−fn(un)
=(n+1)·un−n·un
=un>0
et l’on déduit de la stricte croissance de fn+1 surRque un >un+1. Comme cela est vérifié pour tout entier natureln, la suite (un)nÊ0est strictement décroissante.
3. Pour tout entier naturel, on a vu queun>0.
De plus,
1−n·un=u5n>0 d’où
0<un< 1 n
et l’on déduit du théorème d’encadrement que (un)nÊ0converge vers 0.
4. On a
1−n·un =u5n−−−−−→
n→+∞ 0 d’où
n·un −−−−−→
n→+∞ 16=0 d’oùn·un∼1 puisun∼n1.
Corrigé de l’exercice 2 — D’après un sujet d’oral posé en 2010 à l’X dans la filière PC
1. On suppose|a| <1. Soit f une fonction vé- rifiant les conditions précédentes.
1.a. Soientx un réel etk ∈N. En appliquant l’équation àak·x, on obtient
f ³ ak·x´
−f ³
ak+1·x´
=ak·x
On en déduit que, pour tout entier natureln (après télescopage),
f(x)−f ¡
an+1·x¢
=
n
X
k=0
f ³³ ak·x´
−f ³
ak+1·x´´
= Ã n
X
k=0
ak
!
·x (⋆)
1.b. Pour tout entier natureln et tout réel x, on a établit à la question précédente que
f(x)−f ¡
an+1·x¢
= Ã n
X
k=0
ak
!
·x
=1−an+1
1−a ·x (⋆) Comme|a| <1, on a
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an+1−−−−−→
n→+∞ 0
Puisquef est continue en 0, on en déduit que f ¡
an+1·x¢
−−−−−→
n→+∞ f(0)
Ainsi, en passant à la limite dans (⋆), on ob- tient :
f(x)−f(0)= x 1−a En posantα=f(0), on a que
∀x∈R, f(x)=α+ x 1−a 2. Supposons|a| <1. Soientα∈Ret
f : R−→R x7−→α+ x
1−a
Cette fonction est clairement continue en 0 et, pour toutx∈R, on a
f(x)−f(a·x)= x
1−a − a·x 1−a =x
Ceci constitue la réciproque de la question précédente : dans le cas où |a| <1, les fonc- tionsf :R→Rcontinues en 0 vérifiant
∀x∈R, f(x)−f(a·x)=x sont exactement les fonctions de la forme
g :R−→R x7−→α+ x
1−a oùα∈R.
3. Supposons|a| >1. Soitf vérifiant
∀x∈R, f(x)−f(a·x)=x On a alors, en posantb=1/a,
∀x∈R, f(x)−f(b·x)= −b·x et on prouve comme à la question1.que
f(x)−f(0)= − b
1−b·x= x 1−a
La réciproque a déjà été étudiée : dans le cas où|a| >1, les fonctionsf :R→Rcontinues en 0 vérifiant
∀x∈R, f(x)−f(a·x)=x sont exactement les fonctions de la forme
g :R−→R x7−→α+ x
1−a oùα∈R.
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