Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 6
à rendre le lundi 17 janvier 2010
Groupes, anneaux et corps
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte deux exercices.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no6 PCSI 2010-2011
Exercice 1 — Parties finies deC∗stables par le produit
SoitAune partie non vide deC∗stable par le produit et de cardinal fini.
1. Etablir queAest un sous-groupe de (C∗,×). On pourra considérer, pourx∈A, la suite (xn)nÊ0. 2. On notenle cardinal deA.
2.a. Soita∈A. Etablir que
τa: A −→A x 7−→ax est une bijection deAsur lui-même.
2.b. En déduire que∀a∈A, an=1. On pourra considérer le produitpdes éléments deA.
2.c. En déduire queA=Un, oùUndésigne le sous-groupe multiplicatif des racinesn-ièmes de l’unité.
Exercice 2 — Unités de l’anneauZ£ j¤
On rappelle la notation usuellej=e2iπ/3et on pose Z£
j¤
=©
x+j·y¯
¯(x,y)∈Z2ª 1. Montrer queZ£
j¤
est un sous-anneau de (C,+,×). Est-ce un sous-corps de (C,+,×) ? 2. Vérifier que∀z∈Z£
j¤
,|z|2∈N. 3. On noteU¡
Z£ j¤¢
l’ensemble des éléments de l’anneau¡ Z£
j¤ ,+,×¢
inversibles pour la loi×.
3.a. Montrer queU¡ Z£
j¤¢
=Z£ j¤
∩U.
3.b. Déterminer l’ensembleU6des racines sixièmes de l’unité. On exprimera ces racines en fonction dej.
3.c. Montrer queU¡ Z£
j¤¢
=U6.
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