Devoir libre n

Lycée Jean-Baptiste Say PCSI

Mathématiques

Devoir libre n ^o 4

à rendre le jeudi 16 décembre 2010

Ensembles et applications

Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.

Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.

Ï L’épreuve comporte un problème sur les ensembles et les applications.

Paris XVI^e 2010-2011

Devoir libre de Mathématiques n^o4 PCSI 2010-2011

Problème

Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein et applications

Le problème expose une preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein :s’il existe une injection d’un ensemble X dans un ensemble Y et une injection de Y dans X alors il existe une bijection de X sur Y. Nous en donnerons une application classique dans la seconde partie.

Partie 1 — Le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

SoientX etY deux ensembles non vides. On suppose l’existence des deux applications injectives f :X →Y etg :Y →X.

1. 1. Dans cette question, on considère deux partiesX_f etX_g deX telles que

a. X_f ∩Xg =∅_; b. X_f∪X_g =X ; c. Xg⊂g(Y) ;

d. f ¡ X_f¢

∩g⁻¹¡ Xg¢

=∅_; e. f ¡

X_f¢

∪g⁻¹¡ X_g¢

=Y.

1. 1. a. Etablir que tout élémentadeX_g admet un unique antécédent parg notége(a).

1. 1. b. Montrer que l’applicationh:X →Y définie par

∀a∈X, h(x) =

½f(a) sia∈X_f e

g(a) sia∈X_g

est correctement définie et qu’elle est bijective.

1. 2. On pose

½∆0=X \g(Y)

∀n∈N, ∆n+1=g¡

f (∆n)¢ e t







X_f = [

n∈N

∆n

X_g =X \X_f

Etablir queX_f etX_g vérifient les conditionsa, b, c, deteénoncées à la question précédente.

1. 3. En déduire le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein.

Partie 2 — Application à l’équipotence deNetQ

SoientAetB deux ensembles. On dit queAest équipotent àB s’il existe une bijectionφ:A→B. On note alorsA∼_B.

2. 1. Quelques propriétés de l’équipotence.

2. 1. a. Etablir que, pour tout ensembleA, A∼_A.

2. 1. b. Montrer que, pour tous ensemblesAetB,A∼_{B équivaut àB}∼_A.

2. 1. c. Montrer que, pour tous ensemblesA,B etC,A∼_{B etB}∼_CimpliqueA∼_C.

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2. 2. On pose

f : N² −→N (p,q)7−→2^p·3^q 2. 2. a. Etablir que f est injective.

2. 2. b. Construire une injectiong deNdansN². 2. 2. c. En déduire queNetN²sont équipotents.

2. 3. En vous inspirant de la méthode précédente, prouver queNetQsont équipotents. On pourra prouver successivement queN²∼_Z×NetQ∼_Z×N.

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