Lycée Jean-Baptiste Say PCSI
Mathématiques
Devoir libre n o 4
à rendre le jeudi 16 décembre 2010
Ensembles et applications
Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.
Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.
Ï L’épreuve comporte un problème sur les ensembles et les applications.
Paris XVIe 2010-2011
Devoir libre de Mathématiques no4 PCSI 2010-2011
Problème
Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein et applications
Le problème expose une preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein :s’il existe une injection d’un ensemble X dans un ensemble Y et une injection de Y dans X alors il existe une bijection de X sur Y. Nous en donnerons une application classique dans la seconde partie.
Partie 1 — Le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein
SoientX etY deux ensembles non vides. On suppose l’existence des deux applications injectives f :X →Y etg :Y →X.
1. 1. Dans cette question, on considère deux partiesXf etXg deX telles que
a. Xf ∩Xg =∅; b. Xf∪Xg =X ; c. Xg⊂g(Y) ;
d. f ¡ Xf¢
∩g−1¡ Xg¢
=∅; e. f ¡
Xf¢
∪g−1¡ Xg¢
=Y.
1. 1. a. Etablir que tout élémentadeXg admet un unique antécédent parg notége(a).
1. 1. b. Montrer que l’applicationh:X →Y définie par
∀a∈X, h(x) =
½f(a) sia∈Xf e
g(a) sia∈Xg
est correctement définie et qu’elle est bijective.
1. 2. On pose
½∆0=X \g(Y)
∀n∈N, ∆n+1=g¡
f (∆n)¢ e t
Xf = [
n∈N
∆n
Xg =X \Xf
Etablir queXf etXg vérifient les conditionsa, b, c, deteénoncées à la question précédente.
1. 3. En déduire le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein.
Partie 2 — Application à l’équipotence deNetQ
SoientAetB deux ensembles. On dit queAest équipotent àB s’il existe une bijectionφ:A→B. On note alorsA∼B.
2. 1. Quelques propriétés de l’équipotence.
2. 1. a. Etablir que, pour tout ensembleA, A∼A.
2. 1. b. Montrer que, pour tous ensemblesAetB,A∼B équivaut àB∼A.
2. 1. c. Montrer que, pour tous ensemblesA,B etC,A∼B etB∼CimpliqueA∼C.
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Devoir libre de Mathématiques no4 PCSI 2010-2011
2. 2. On pose
f : N2 −→N (p,q)7−→2p·3q 2. 2. a. Etablir que f est injective.
2. 2. b. Construire une injectiong deNdansN2. 2. 2. c. En déduire queNetN2sont équipotents.
2. 3. En vous inspirant de la méthode précédente, prouver queNetQsont équipotents. On pourra prouver successivement queN2∼Z×NetQ∼Z×N.
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