L3 - LOG (Année 2015/2016) Natacha Portier/Anupam Das/Ignacio García-Marco TD 2 - Calcul propositionnel
Exercice 1. Cantor-Bernstein-Schröder
On va démontrer (deux fois) le Théorème de Cantor-Bernstein-Schröder :
Théorème (Cantor-Bernstein-Schröder). S’ils existentf : A ,→ B etg : B ,→ A, alors il existeh:A ,→→B
1. Lemme : SiB ⊆Aet sif :A ,→B, alors∃g :A ,→→B (utiliserC =∪n∈Nfn(A\B)).
En déduire le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder.
2. Lemme : siG :P(A) → P(A)est telle que∀X, Y ∈ P(A), X ⊆Y ⇒ G(X) ⊆G(Y), alors∃M, G(M) = M. En déduire le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder avec G : X7→A\g(B\f(X))
Exercice 2. Théorème de lecture unique
SoitM un mot sur l’alphabet {(,),¬,∨,∧,⇒,⇔} ∪P, oùP est un ensemble de variables propositionnelles. Notonso(M)etf(M)les nombres de parenthèses ouvrantes et fermantes deM.
SoitF une formule du calcul propositionnel sur l’ensemble de variablesP. 1. Montrer que l’on ao(F) =f(F).
2. SoitMun segment initial deF. Montrer queo(M)≥f(M).
3. Montrer que pour toute formule F dont le premier symbole est une parenthèse ou- vrante, et pour tout motM segment initial propre (distinct deF) deF, l’on a :o(M) >
f(M).
4. Montrer que tout motM segment initial propre deF n’est pas une formule.
5. En déduire le théorème de lecture unique : pour toute formuleF, un et un seul des trois cas se présente :
i F ∈P.
ii Il existe une formuleGtelle queF =¬G.
iii Il existe un unique symbole de connecteur binaireαet un unique couple de formules (G, H)tel queF = (GαH).
Exercice 3. Marathon des connecteurs binaires
1. Remplir le tableau suivant :
1
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) Exemple de formule correspondante
0 0 0 0 (x1∧ ¬x1)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Exercice 4. Formes normales
On rappelle qu’une clause conjonctive est une formule de la forme x1 ∧x2∧. . .∧xn, où chaquexiest un littéral ; qu’une formule est dite sous forme normale disjonctive si et seule- ment si elle s’écrit comme une disjonction de clauses conjonctives ; que cette formule est dite sous forme normale disjonctive canonique si chaque variable apparaît une unique fois dans chaque clause, et si les clauses ne se répètent pas.
1. Montrer que toute formule non toujours fausse admet une unique écriture sous forme normale disjonctive canonique (à l’ordre des facteurs près).
2. De même, on définit et montre l’existence et l’unicité d’une unique formule sous forme normale conjonctive canonique...
Exercice 5. DansZ/2Z
Considérons un ensemble de variablesP, et identifions l’ensemble{0,1}au corpsZ/2Z 1. Exprimer les opérations+et×à l’aide des connecteurs∧,∨et¬.
2. Exprimer les connecteurs∧,∨et¬à l’aide des opérations+et×.
3. Montrer qu’à toute formule propositionnelle F(a1, . . . , an) on peut associer un po- lynome àn indéterminées P tel queF(a1, . . . , an) = P(a1, . . . , an). Y a-t-il unicité du polynomeP?
4. En déduire une méthode pour déterminer si deux formules sont logiquement équiva- lentes, ou si une formule est une tautologie.
Exercice 6. Théorème de compacité du calcul propositionnel
Montrer l’équivalence de ces trois versions du Théorème de compacité du calcul proposi- tionnel.
1. Pour tout ensembleAde formules du calcul propositionnel,Aest satisfaisable si et seulement siAes finiment satisfaisable.
2
2. Pour tout ensembleAde formules du calcul propositionnel,Aest contradictoire si et seulement siAadmet au moins un sous-ensemble fini contradictoire.
3. Pour tout ensembleAde formules du calcul propositionnel, et pour toute formuleF, Fest conséquence deAsi et seulement siF est consequence d’au moins une partie finie deA.
Rappel :F estconsequencedeAsi et seulement si toute distribution de valeurs de verité qui satisfaitAsatisfaitF.
Exercice 7. Un peu d’ordre
1.Montrer que pour tout ensembleE fini et tout ordre partiel ≤p sur cet ensemble, cet ordre est prolongeable en un ordre total surE.
2. Montrer que le résultat est toujours vrai pour toutEinfini.
Exercice 8. Coloration des graphes
Etant donné un ensembleE, ungraphesurEest une relation binaireGsymétrique et anti- réflexive (ce qui signifique que, pour chaque élémentxdeE,(x, x)∈/G).
Si kest un entier naturel non nul et siGest un graphe surE, on dit queGestk-coloriable si et seulement si il existe une application f de E dans {1,2, . . . , k} telle que, pour tout (x, y)∈G, f(x)6=f(y).
1. Soit, pour chaque couple(x, i)∈E× {1,2, . . . , k}, une variable propositionnelleAx,i. Definir un ensembleA(E, G, k)de formules du calcul propositionnel sur l’ensemble de variablesAx,iqui soit satisfaisable si et seulement si le graphGestk-coloriable.
2. Montrer que, pour qu’un graphe soitk-coloriable, il faut et il suffit que toutes ses restrictions finites le soient.
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