Devoir en temps libre

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MPSI2, Louis le Grand

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3 : Optique

Pour le 6 novembre

Exercice 1 : Hyperboles de conjugaison

On considère une lentille mince convergente, notéeLcde centre optiqueOet de distance focale image notée f_c⁰. La figure 1 (à rendre avec la copie) représente la positionOA⁰de l’image que la lentilleL_cdonne d’un objet de positionOAsitué sur l’axe optique.

−20 −10 0 10 20

−20

−10 0 10

20 M

1

M

2

M

3

OA(cm) O A

0

( cm )

Fig. 1 : Position de l’image en fonction de celle de l’objet pour une lentille convergente.

1. (a) Déterminer à l’aide de la figure 1 la valeur de la distance focalef_c⁰.

(b) Pour chacun des pointsM1,M2 etM3, déterminer la nature réelle ou virtuelle de l’objet et de l’image correspondant.

2. (a) Proposer une détermination du grandissement transversal utilisant la figure 1.

(b) En déduire le grandissement correspondant aux pointsM1etM2.

3. On cherche avec cette lentille à former une image réelle deux fois plus grande d’un objet réel.

(a) Quel sera le signe du grandissement ?

(b) Déterminer à l’aide de la figure 1 la distance entre la lentille et l’objet ainsi que la distance entre l’objet et son image.

4. On considère une lentille mince divergente, de vergenceV =−10δ.

(a) Tracer l’allure de la courbeOA⁰en fonction deOAen précisant soigneusement les points remar- quables. On pourra se contenter de modifier quelques paramètres de la figure 1 et l’utiliser pour les questions suivantes.

(b) Cette lentille modélise le verre correcteur d’un œil myope. Où se forme l’image formée par ce verre d’un objet réel placé à 20 cm ?

(c) Avec ce verre, l’œil corrigé voit net sans accommoder un objet à l’infini. En déduire le « punctum remotum » de l’œil non corrigé.

(d) Le « punctum proximum » de l’œil non corrigé est 5 cm, quel est le « punctum proximum » de l’œil corrigé ?

Exercice 2 : Rétroprojecteur

On souhaite former, sur un écran mural noté E, l’image agrandie d’un transparent à l’aide d’une lentille mince convergenteL. On désigne parIl’intersection du transparent avec l’axe optique, parOetf⁰le centre optique et la distance focale image de la lentille.

On désigne pardla distanceIO.

I h

O L

E x

d

D

1. (a) Déterminer le signe deγ.

(b) On souhaite que la taille de l’image sur l’écran soit|γ|h, avec|γ|> 1. Déterminer l’expression de la distancedpuis de la distance focalef⁰en fonction deDetγ. Calculerd, etf⁰pourh = 24 mm,H =|γ|h= 1,2 m etD = D0 =3,0 m. On noted0la valeur dedet etO0la position correspondante.

(c) On peut régler l’objectif en translatantOpar rapport àI. Déterminer les distancesD_minetD_max quand on déplaceOde 1 mm de part et d’autre de la positionO0et commenter.

2. Pour cette question,Dest de nouveau fixé àD = D0 et la lentille enO0. On souhaite multiplier la taille de l’image sur l’écran par2sans déplacer ni celui-ci ni le transparent, ni la lentille. On envi- sage d’intercaler, entre le transparent et la lentille L, une lentille mince convergenteL1de distance focale imagef₁⁰et une lentille mince divergenteL2de distance focale imagef₂⁰, avec

f₂⁰ = 2f₁⁰.

I O

L O1

L1

O2

L2

(a) Justifier qu’on n’aurait pas pu réaliser cette dilatation par2en n’ajoutant qu’une seule lentille.

(b) On place la lentilleL₁de telle sorte que son foyer objet coïncide avecI. Où doit-on placerL₂? On justifiera le fonctionnement de ce dispositif en s’aidant d’une construction.

3. On supprime dans cette partie les lentillesL1etL2pour étudier maintenant la source lumineuse éclai- rant le transparent. On la considère ponctuelle, située enSà une distancedSen amont de le transparent.

La distanceDest à nouveau fixée àD0.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/3 2017–2018

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3 : Optique

Pour le 6 novembre

On intercale, enOSune lentille mince convergente LS(de distance focalef_S⁰) entreSet le transparent de telle sorte que le faisceau lumineux issu deSen- globe tout le transparent et se focalise enO0, centre

optique de la lentilleL. I

O L OS

L_S S

(a) Le schéma ci-dessus représente l’enveloppe « utile » du faisceau lumineux issu deSatteignant la lentilleL. Compléter ce schéma pour représenter cette enveloppe entre la lentilleLet l’écranE.

(b) Déterminer l’expression de la distanceSOSen fonction def_S⁰ , dSetd0. CalculerSOSpourf_S⁰ = 1,8 cm etdS=5 cm.

(c) Quelle est l’utilité de la lentilleL_S?

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Pour le 6 novembre

Correction de l’exercice 1

1. (a) On observe que la distanceOA⁰diverge pourOA0=−5,0 cm. Le pointA0est donc conjugué de l’infini, c’est donc par définition le foyer objet. On en déduit quef⁰=5,0 cm. On vérifie d’ailleurs que pourOA=∞,OA⁰=5,0 cm : le foyer image est bien symétrique du foyer objet.

(b) L’objet est réel (resp. virtuel) pourOA <0(resp. pourOA >0). C’est l’inverse pour l’image. On en déduit que :

• enM1l’objet et l’image sont tous deux réels ; on est en zone de projection

• enM2l’objet est réel et l’image est virtuelle ; on est en zone de loupe

• enM3l’objet est virtuel et l’image est réelle.

2. (a) En notanty=OA⁰etx=OA, le grandissement transversal a pour expressionγ=y/x, c’est donc la pente de la droite joi- gnant l’originex = 0, y = 0 au pointM, représentée sur la figure 2.

(b) On lit :

• enM1:γ=−0,4,

• enM2:γ=4,0.

−20 −10 0 10 20

−20

−10 0 10

20 M

₁

M

₂

M

3

M

4

OA( cm ) O A

0

( cm )

Fig. 2

3. (a) On doit être en zone de projection, oùγ <0puisqueOA <0etOA >0.

(b) On trace la droite de penteγ=−2issue de l’origine. Les coordonnées de son intersection avec la courbe de la figure 2 (pointM4) donnent :

• OA=−7,5 cm,

• OA⁰=15 cm.

La distance entre la lentille et l’objet est donc|OA| =7,5 cm et celle entre l’objet et l’image est AA⁰ = OA⁰−OA = 22,5 cm. Remarquons queD = AA⁰peut également s’interpréter gra- phiquement comme la distance, pourx = −7,5 cm, entre la courbe de la figure 2 et la courbe d’équationy=x.

4.

(a) La distance focale de la lentille est f⁰ = 1/V = −10 cm. Il suffit donc de décaler la courbe 1 pour queOA⁰ diverge enOA = −f⁰ et que ses asymptotes pourOA→ ±∞soient OA⁰ =f⁰. On obtient la courbe de la figure 3.

(b) Le pointM1 sur la courbe, a pour abscisseOA = −20 cm. On lit son

ordonnéeOA⁰=−6,7 cm.

−20 −10 0 10 20

−20

−10 0 10 20

M

₁

M

₂

OA( cm ) O A

0

( cm )

Fig. 3

(c) L’image d’un point à l’infini par cette lentille est son foyer image situé à l’asymptoteOA⁰=f⁰=

−10 cm. Comme l’œil voit cet objet sans accommoder, cette distance est son « punctum remotum » de l’œil non corrigé. On a ici négligé la distance entre l’œil et le verre.

(d) Quand il accommode au maximum, l’œil voit net un objet placé à son « punctum proximum » non corrigé, soit enOA^prime =−5 cm (pointM2sur la figure 3). Avec le verre, ce point est l’image du pointOA=−10 cm ; c’est donc le nouveau « punctum proximum » pour l’œil corrigé.

Correction de l’exercice 2

1. (a) Utilisonsα = H/het travaillons avec les distances (positives)OE etOI = d. La formule du grandissement de Descartes assure queα=OE/OI=OE/d. Comme par ailleursD=OE+d, on peut écrireα=^D−d_d , soitd= _α+1^D . La relation de conjugaison de Descartes donne_OE¹ +¹_d=

1

f⁰, soit _D−d^d + 1 = _f^d0 soit, après substitution de l’expression dedobtenue et manipulations f⁰= ^Dα

(α+1)². On calculed0 =5,88 cm etf⁰ =5,77 cm : le transparent n’est qu’à 1 mm du foyer objet de la lentille, ce qui n’est pas surprenant puisqu’on veut un grandissement deα= 50.

(b) On exprime cette fois-ci la distanceDen fonction dedetf⁰. La relation de conjugaison_D−d¹ +¹_d=

1

f⁰ donneD = _d−f^d²0. On calculeD = 1,3 m pourd = dmin = 5,98 cm etD = 33,4 m pour d=d_min=5,78 cm. On constate qu’on pourra réaliser la mise au point sur des distancesDtrès différentes en modifiant très légèrement la configuration.

2. (a) Le plan de l’écran est conjugué parLde celui du transparent. Si on forme une image du transparent par une autre lentille, celle-ci ne sera plus en I et la lentilleLne pourra pas en former une image sur l’écran.

(b) La lentilleL₁envoie à l’infini l’image deIdont l’image parL₂sera au foyer image de cette der- nière, qui doit donc coïncider avecIpour que son image parLsoit sur l’écran. On doit donc avoir

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3 : Optique

Pour le 6 novembre I=F1=F⁰2. Comme

f₂⁰

= 2f₁⁰, la lentilleL2doit être placée à|f₂⁰|= 2f₁⁰en aval deI. Notons que cette distance doit être inférieure àdpour qu’on puisse insérer les deux lentillesL₁etL₂en amont de la lentille de projection.

Il faut également vérifier que cette configuration réalise bien le grandissement attendu. L’image à l’infini formée parL₁est vue sous l’angleβ ' tanβ = h/f₁⁰, son image parL₂ sera le foyer image secondaire associé à cette incidence, sa taille sera donc tanβ× |f₂⁰|=h^|f

0 2| f₂⁰ = 2h.

O1 O2

I F_2,β⁰

β

3. (a) et b. L’enveloppe est représentée ci-contre. La sourceOet le centreOde la lentille de projection doivent être conjugués par la lentilleL_S. On a donc, en notantxla distanceSO0:

1

x+ 1

d0+dS−x = 1 f_S⁰

f_s⁰(d0+dS) =x(d0+dS−x) x²−(d0+dS)x+ (d0+dS)f_S⁰ = 0.

OS

S I O0 E

On en déduit

x=

d0+dS−q

(d0+dS) d0+dS−4f_S⁰

2 =2,28 cm,

puisque l’autre solution correspondrait à mettreL_Sen aval deI.

(c) Cette lentille permet de récupérer une grande partie de la lumière deSen lui permettant de passer le diaphgrame que constitue la lentilleLpour l’envoyer surE.