ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 1
ECS2
Exercice 1.1
1. Soitα∈R\ {1}. Déterminer la nature de la série de terme général 1 nαln(n). On pourra distinguer les cas où α <1et α >1.
2. Montrer que 1
nln(n) ∼
n→+∞ln(ln(n+ 1))−ln(ln(n)).
En déduire la nature de la série de terme général 1 nln(n).
Exercice 1.2
Soitαun réel donné. Pour tout n≥1, on pose : un=
n
X
k=1
1 (n+k)α.
1. Étudier suivant les valeurs de α, la convergence de la suite (un)n≥1. En cas de convergence, on précisera la limite de la suite (un)n≥1.
On pourra pour cela faire apparaitre une somme de Riemann (et consulter son cours d’intégration de première année si nécessaire).
2. Étudier la nature de la série de terme généralun.
3. Soitxun réel vérifiant|x|<1. Étudier suivant les valeurs du réel α, la convergence de la série de terme généralunxn.
Exercice 1.3
Soitnun nombre supérieur ou égal à 2.
On dit qu’une matriceM ∈Mn(R) estnilpotente s’il existe un entierk∈N∗ tel que Mk est la matrice nulle.
1. (a) Donner un exemple de matrice nilpotente non nulle deM2(R).
(b) Une matrice nilpotente peut-elle être inversible ? Que dire de son rang ?
(c) Montrer qu’une matrice nilpotente semblable à une matrice diagonale est nécessairement la matrice nulle.
2. On appelle indice de nilpotence d’une matrice nilpotenteM le plus petit entier strictement positifk tel queMk est la matrice nulle.
Le programmeScilabsuivant, dont le code est incomplet, permet de calculer l’indice de nilpotence d’une matrice nilpotente.
1 A = input("Entrer une matrice nilpotente")
2 k = 1
3 B = A
4 while sum(abs(B))>0
5 k = ?? ;
6 B = ?? ;
7 end;
8 disp( ?? )
(a) Expliquer en détail la ligne de codewhile sum(abs(B))>0.
(b) Compléter le code du programme.
3. SoitM une matrice deMn(R) (n≥2) nilpotente.
(a) Montrer que la matriceA=In−M est inversible et déterminer son inverse.
(b) Montrer queIn−A−1est nilpotente.
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