Exercices de colle de la semaine 12

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Exercices de colle de la semaine 12

ECS2

Colle de 17h à 18h

Exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout x ∈ R par f (x) = 1 2 e ^−|x| . 1. Montrer que f est une densité de probabilité.

2. Soit X une variable aléatoire de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.

3. On pose Z = |X|. Montrer que Z suit une loi usuelle que l’on déterminera.

4. Soit X et Y deux variables indépendantes ayant f pour densité.

Déterminer la loi de la variable S = X + Y .

Exercice 2

Soient X ₁ , . . . , X _n des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi normale centrée réduite.

On pose Y _n =

n

X

i=1

X _i ² .

1. Montrer que la fonction de répartition de Y = X ₁ ² est égale à F Y : x 7→

( 0 si x ≤ 0 2Φ( √

x) − 1 sinon , où Φ désigne la fonction de répartition de la loi N (0, 1).

2. En déduire que Y est une variable à densité et en déterminer une densité.

3. Déterminer une densité de ^Y ₂ , et reconnaître sa loi.

4. En déduire la loi de ^Y ₂

, puis une densité de Y n .

Exercice 3

Soit la matrice A =







4 4 − 4

2 2 4

4 4 2





 . On cherche dans cet exercice à trouver toutes les matrices M ∈ M 3 ( R ) telles que :

M ² + M = A. (∗) 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

2. Soit M une solution de (∗).

(a) Vérifier que AM = M A.

(b) Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. Montrer que M X ∈ E λ (A), et en déduire qu’il existe µ ∈ R tel que M X = µX . Donner une relation entre λ et µ.

3. Déterminer toutes les solutions de (∗), et donner l’unique solution dont toutes les valeurs propres sont positives.

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Colle de 18h à 19h

Exercice 4

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Soit L un élément non nul de M 1,n ( K ) et C un élément non nul de M n,1 ( K ).

On pose A = CL et a = LC.

1. Calculer A ² en fonction de a et A. Que peut-on en déduire pour le spectre de A ? 2. Montrer que A est de rang 1 (on pourra expliciter A à partir des cœfficients de C et L).

3. Calculer AC et en déduire que Sp(A) = {0, a}.

4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a pour que A soit diagonalisable.

Exercice 5

Soit k ∈ N ^∗ et λ > 0.

1. Déterminer la valeur de r pour laquelle f _λ : x →







0 si x ≤ λ

r

x ^k+1 sinon est une densité de probabilité.

Si X admet pour densité f λ , on dit que X suit la loi de Pareto de paramètre λ et k.

2. Déterminer la fonction de répartition d’une variable suivant la loi de Pareto de paramètres λ et k.

3. En utilisant la méthode d’inversion, simuler une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres λ et k.

4. Soient X 1 , · · · , X k k variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur [0,1].

On pose alors Y = λ

max(X 1 , · · · , X _k ) .

(a) Montrer que Y suit une loi de Pareto de paramètres λ et k.

(b) En déduire une autre méthode pour simuler la loi de Pareto.

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