ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 7
ECS2
Exercice 7.1
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P) suivant la même loi géométrique de paramètrep. On pose q= 1−p,U =X1+X2, T =X1−X2.
1. Déterminer la loi deU.
2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2.
(a) Déterminer la loi conditionnelle deX1 sachant [U =n].
(b) Calculer l’espérance conditionnelleE(X1|[U =n]). Retrouver la valeur deE(X1).
3. Déterminer la loi deT.
4. Calculer Cov(U, T). Les variablesU etT sont-elles indépendantes ?
Exercice 7.2
On considère deux variables aléatoiresX etY telles queX(Ω) =Y(Ω) ={1, . . . , n}et : P([X =i]∩[Y =j]) =a×i×j.
1. Déterminer la valeur de la constante a.
2. Donner la loi et l’espérance deX. 3. Déterminer la loi deY.
4. Les variablesX etY sont-elles indépendantes ? 5. CalculerP(X =Y).
Exercice 7.3
On s’intéresse aux intégrales de Bertrand :
Z +∞
e
1
xα(lnx)βdx.
1. Cas où α= 1
(a) À l’aide de primitives, déterminer la nature des intégrales suivantes : Z +∞
e
dx x(lnx)2,
Z +∞
e
dx x√
lnx,
Z +∞
e
dx xlnx. (b) Siα= 1, à quelle condition sur β∈Rl’intégrale de Bertrand est-elle convergente ? 2. Cas où α >1
(a) Donner la nature des intégrales suivantes :
Z +∞
e
dx x2 lnx,
Z +∞
e
dx x2(lnx)−1.
(b) Soitα >1 quelconque. À quelle condition surβ∈Rl’intégrale de Bertrand correspondante est-elle convergente ?
3. Cas où α <1
(a) Donner la nature des intégrales suivantes :
Z +∞
e
√ dx
x(lnx)3,
Z +∞
e
√ dx
x(lnx)−2.
(b) Soitα <1 quelconque. À quelle condition surβ∈Rl’intégrale de Bertrand correspondante est-elle convergente ?
1
