ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 5
ECS2
Exercice 5.1
On considère un processus binomial de paramètrep∈]0,1[, c’est-à-dire une suite d’épreuves indépendantes telles que chaque épreuve conduit à un succès avec probabilitépou à un échec avec probabilitéq= 1−p.
Dans tout l’exercice, on fixe un entier r > 0. On admettra que si x ∈]−1,1[, alors la série X
n≥r
n r
xn−r
converge et sa somme vaut 1 (1−x)r+1.
1. On note Xrle rang d’apparition du r-ème succès.
(a) Que dire deX1 ?
(b) Quel est l’ensembleV des valeurs queXrpeut prendre ? (c) Montrer que pour toutk∈V,P(Xr=k) = k−1r−1
prqk−r. On dit queXrsuit laloi de Pascal de paramètre(r, p).
2. (a) Montrer queE(Xr) existe et vaut r p.
(b) Montrer que E(Xr(Xr+ 1)) existe et la calculer. En déduire queXr admet une variance qui vaut rq
p2.
Exercice 5.2
On noteϕl’application qui à tout polynômeP deR3[X] associe le polynômeϕ(P) = (X−1)P0. 1. Montrer queϕest un endomorphisme deR3[X].
2. Déterminer la matrice de ϕdans la base canoniqueC = (1, X, X2, X3).
3. Déterminer le rang deϕ.
4. Déterminer une base de Ker(ϕ) et une base de Im(ϕ).
5. Montrer que la famille B= (1, X−1,(X−1)2,(X−1)3) est une base deR3[X].
6. Déterminer la matrice de passage de la baseC à la baseB puis la matrice de passage de la baseB à la base C.
7. Déterminer la matrice de ϕdans la baseB.
Exercice 5.3
On considèreF ={(x, y, z)|x+z= 0}et G= Vect((1,−1,1)).
1. (a) Déterminer une base (e1, e2) deF et une base (e3) deG.
(b) Montrer queB= (e1, e2, e3) est une base deR3. En déduire queF etGsont supplémentaires dans R3.
2. On considèreple projecteur surF parallèlement àG.
(a) Déterminer la matrice depdans la baseB.
(b) En déduire la matrice depdans la base canonique. On pourra pour cela s’aider éventuellement du logicielScilabpour les calculs matriciels.
(c) Donnerp((x, y, z)) pour tout (x, y, z)∈R3.
3. Soitqle projecteur sur Gparallèlement àF. Déterminerq((x, y, z)) pour tout (x, y, z)∈R3.
1
