Exercices de colle de la semaine 11

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ECS2 Lycée Louis Pergaud

Exercices de colle de la semaine 11

ECS2

Exercice 1

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω, A , P ) telles que X , → E (a) et Y , → E (b), où a et b sont deux réels strictement positifs.

1. Déterminer une densité de la variable aléatoire −X.

2. Montrer que Y − X admet pour densité la fonction h définie par :

∀t ∈ R , h(t) =



 



 

 ab

a + b e

^−bt

si t > 0, ab

a + b e

^at

si t ≤ 0.

3. On considère la variable aléatoire Z = |X − Y |.

(a) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a :

P (Z ≤ x) = 1 − be

^−ax

+ ae

^−bx

a + b .

(b) Montrer que Z est une variable à densité, et en déterminer une densité.

(c) Montrer que Z admet une espérance et la calculer.

Exercice 2 Soit M =







0 1 0

−

¹₄

−

¹₂

−

¹₄

1

2

0

¹₂





 .

1. Déterminer un polynôme annulateur de M . 2. En déduire les éléments propres de M.

3. M est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

Exercice 3

Pour des matrices A = a b c d

!

et B = a

⁰

b

⁰

c

⁰

d

⁰

!

de M

2

( R ), on définit hA, Bi = aa

⁰

+ bb

⁰

+ cc

⁰

+ dd

⁰

. 1. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M

2

( R ).

2. On note X = 1 0 0 −1

! , Y =

3

2

0

³₂

!

, Z = 0 1 2 0

!

et T = 0 −4

2 0

! .

Montrer que la famille (X, Y, Z, T ) est orthogonale. En déduire une base orthonormée B de ( M

2

( R ), h·, ·i).

3. Soit A = 1 1 1 1

!

. Exprimer les coordonnées de A dans la base B .

4. Montrer que la base canonique C = (E

1,1

, E

1,2

, E

2,1

, E

2,2

) de M

2

( R ) est orthonormée pour le produit scalaire h·, ·i.

5. Déterminer la matrice P

_B_,_C

de passage de la base B à la base C .

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