Déterminer une densité deY

(1)

Exercice 1 Loi de Laplace Soitf :R−→R, x7−→ 1

2e^−|x|.

1. Montrer quef est une densité de probabilité.

2. SoitXune variable aléatoire admettantf pour densité. Déterminer la fonction de répartition deX.

3. Montrer queXadmet une espérance et une variance et les calculer.

4. SoitY = X

. Déterminer une densité deY.

5. Montrer queY admet une espérance et une variance et les calculer.

Solution (Ex.1 – Loi de Laplace) 1. f est continue, positive et paire sur R.

Z +∞

0

f(x)dx = 1 2

Z +∞

0

e^−xdx = 1

2Γ(1) = 1 2. Par parité,

Z +∞

−∞

f(x)dx= 1.

2. Six <0,FX(x) = 1

2e^xet si x>0, FX(x) = 1−1 2e^−x. 3.

Z +∞

0

xfX(x)dx= 1 2

Z +∞

0

xe^−xdx= 1

2Γ(2) donc existe ! ! ! Par "imparité" de x7→xf_X(x),

Z +∞

−∞

xf_X(x)dx= 0 etE(X) = 0.

Z +∞

0

x²fX(x)dx = 1 2

Z +∞

0

x²e^−xdx = 1

2Γ(3) donc existe ! ! ! Par parité de x7→x²fX(x),

Z +∞

−∞

x²fX(x)dx= Γ(3) = 2! = 2,E(X²) = 2,V(X) = 2.

4. Y(Ω) = R+, FY(y) = 11_{[ 0 ; +∞}[(y)(FX(y)−FX(−y)) = (1−e^−y)11_{[ 0 ; +∞}[(y), fY(y) =e^−y11_{[ 0 ; +∞}[(y)... Y,→E(1).

5. E(Y) = 1,V(Y) = 1.

Exercice 2 Lois de Pareto avec ou sans moment Soitaun réel etf :R−→R, x7−→

(0 six61 a

x³ sinon . 1. Déterminerapour quef soit une densité de probabilité.

2. SoitXune variable aléatoire admettantf pour densité. Déterminer la fonction de répartition deX.

3. Étudier siXadmet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.

4. SoitY =√

X. Déterminer une densité deY.

5. Étudier siYadmet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.

Solution (Ex.2 – Lois de Pareto avec ou sans moment) 1.

Z +∞

1

dx x³ = 1

2 donca= 2et f vérifie toutes les propriétés d’une densité.

2. F_X(x) =

1− 1 x²

11_{] 1 ; +∞}_[(x).

3.

Z +∞

1

xf(x)dx= Z +∞

1

2

x²dxexiste et vaut2 :E(X)existe et vaut2.

Z +∞

1

x²f(x)dx= Z +∞

1

2

xdxn’existe pas :E(X²)etV(X)n’existent pas.

4. FY(y) =

1− 1 x⁴

11_{] 1 ; +∞}_[(y),FY(y) = 4

x⁵11_{] 1 ; +∞}_[(y).

5. E(Y) =4

3, E(Y²) =E(X) = 2,V(Y) = 2 9. Exercice 3 Par la loi ou par transfert 1. Justifier quef :R−→R, x7−→ 1

π(1 +x²)est une densité de variable aléatoire.

2. SoitX ayantf pour densité et Ydéfinie par : Y =

(ln X

siX6= 0

0 sinon .

a)Déterminer la fonction de répartition deY en fonction de celle deX.

b) Déterminer une densité continuef_Y deY.

c) Étudier la parité def_Y, établir queY possède une espérance et la calculer.

3. SoitI = Z 1

0

ln(x)

1 +x²dxet J = Z +∞

1

ln(x) 1 +x²dx.

a)Établir la convergence deIpuis celle deJ.

b) À l’aide du changement de variableu= 1/x, montrer queJ =−I.

c) Retrouver, à l’aide du théorème de transfert, l’existence et la valeur de l’es- pérance deY.

Solution (Ex.3 – Par la loi ou par transfert)

(2)

1. f est manifestement continue et positive sur R et Z +∞

−∞

f(x)dx = arctanx

π

+∞

−∞

= 1.

2. a)Poury∈R,FY(y) = FX(e^y)−FX(−e^y).

b)Poury∈R,f_Y(y) = 2e^y π(1 +e^2y). c)f_Y(−y) = 2e^−y

π(1 +e^−2y)= 2e^y

π(e^2y+ 1) =f_Y(y),f_Y est paire.

yf_Y(y) ∼

y→+∞

2ye^−y

π et comme Z +∞

0

ye^−ydy existe (c’est Γ(2)! ! ! !), par équivalence

Z +∞

0

yfY(y)dy existe.y7→yfY(y)étant impaire,E(Y)existe et vaut0.

3. a) ln(x) 1 +x² ∼

x→0ln(x)et Z 1

0

ln(x)dxexiste (utiliser la primitivex7→xln(x)−x et la limite lim

x→0xln(x) = 0), ce qui assure la convergence deI.

ln(x)

1 +x² = o

x→+∞

1 x^3/2

et

Z +∞

1

dx

x^3/2 existe (Riemann) donc convergence deJ.

b)J = Z +∞

1

ln(x) 1 +x²dx=

Z 0 1

ln(1/u) 1 + 1/u²

−1

u²du=− Z 1

0

ln(u)

u²+ 1du=−I :-) c)E(Y) =E(ln|X|) =

Z +∞

−∞

ln|x|

π(1 +x²)dx^parité= 2 π

Z +∞

0

ln|x|

1 +x²dx= 2

π(I + J) = 0.

Exercice 4 Autour de l’arc-tangente 1. a)En posantu= arctanx, établir queI =

Z +∞

0

dx

1 +x²2 existe et vaut π 4. b)Pour quelle valeur du réelala fonctionf définie par

f :R−→R, x7−→





 a

(1 +x²)² six>0

0 sinon

est-elle une densité de probabilité ?

2. SoitXune variable ayantf pour densité. Justifier l’existence et calculerE(X) etV(X).

Solution (Ex.4 – Autour de l’arc-tangente)

1. a) I = Z π/2

0

du 1 + tan²u=

Z π/2 0

cos²udu= Z π/2

0

1 + cos(2u) 2 du=π

4. b) a=1

I = 4 π. 2. xf(x) ∼

x→+∞

4 πx³ et

Z +∞

1

dx

x³ existe ... E(X)existe.

x²f(x) ∼

x→+∞

4 πx² et

Z +∞

1

dx

x² existe ...E(X²)etV(X)existent.

Pour une primitive de x 7→ xf(x), on fait apparaître une forme u⁰

u² qui se primitive en−1

u : E(X) =

Z +∞

0

4x

π(1 +x²)²dx=

− 2 π(1 +x²)

+∞

0

= 2 π.

Pour une primitive dex 7→x²f(x), on décompose x² en (1 +x²)−1, ce qui permet une simplification du premier terme, et on observe que le second fait apparaîtreI:

E(X²) =

Z +∞

0

4x²

π(1 +x²)²dx = 4 π

Z +∞

0

(1 +x²)−1

(1 +x²)² dx = 4

π

Z +∞

0

dx 1 +x² −I

= 4 π

[arctanx]^+∞₀ −π 4

= 2−1 = 1.

V(X) = 1− 4

π² = π²−4 π² . Exercice 5 Fléchettes

On lance une fléchette sur une cible circulaire de rayon égal à 1 métre. La proba- bilité d’atteindre une zone donnée de la cible est proportionnelle à l’aire de cette zone.

1. On noteRla distance séparant le centre de la cible de la fléchette. Déterminer la loi deR.

2. Pour participer au jeu, on mise 1 euro, et on gagne à chaque fois k

R euro(s).

On noteGle gain algébrique. du joueur. Montrer queGadmet une espérance et la calculer, en fonction dek.

3. L’organisateur espère gagner 0,20 euro par partie en moyenne. Quelle valeur doit-il donner àk? Dans la suite,kprend cette valeur.

4. Quels sont les gains possibles du joueur ? Que vautP(G>5)? EtP(G>0)? Solution (Ex.5 – Fléchettes)

(3)

1. R(Ω) = [ 0 ; 1 ]. Pour r ∈ [ 0 ; 1 ], FR(r) = P(R 6 r) = πr²

π×1² = r². Par dérivation,fR(r) = 2r11_{[ 0 ; 1 ]}(r).

2. G =_R^k −1.E _R^ktransf.

= Z 1

0

k

r2rdr= 2k. E(G)^lin.= 2k−1.

3. E(G) = 0,2pourk= 0,6,G(Ω) = [−0,40 ; +∞[(le joueur peut faire exploser la banque ...)

P(G>5) =P k

R−1>5

=P

R6k 6

=P(R60,1) = 0,1²= 1%

P(G> 0) =P k

R−1>0

=P

R6 k 1

= P(R6 0,6) = 0,6² = 36%, et donc64%de chance d’être perdant ...

Exercice 6 Une densité constante par morceaux Pourx∈R, on noteE(x)la partie entière de x.

Soitαun réel et f :R−→R, x7−→

(0 six6∈] 1 ; 4 [ αE(x) sinon . 1. Déterminerαpour quef soit une densité de probabilité.

2. SoitXune VAR de densitéf. Déterminer la fonction de répartition deX.

3. Étudier siXadmet une espérance. Si oui, la calculer.

4. SoitY = X−2

. Étudier siY admet une espérance. Si oui, la calculer.

Solution (Ex.6 – Une densité constante par morceaux) 1. α=1

6 car Z 4

1

E(x)dx= Z 2

1

1dx+ Z 3

2

2dx+ Z 4

3

3dx= 6.

2. Par primitivation :

• six61,F(x) =k1= 0carlim−∞F = 0;

• six∈[ 1 ; 2 [,F(x) =k2+x/6et k2=−1/6car lim

x→1⁻F(x) = 0;

• six∈[ 2 ; 3 [,F(x) =k3+ 2x/6 etk3=−3/6 car lim

x→1⁻F(x) = 1/6;

• six∈[ 3 ; 4 [,F(x) =k4+ 3x/6 etk4=−6/6 =−1 car lim

x→1⁻F(x) = 3/6;

• six>4,F(x) =k4= 1carlim_+∞F = 1.

Après simplification,

si x 6 1, F(x) = 0, si x ∈ [ 1 ; 2 [, F(x) = (x−1)/6, si x ∈ [ 2 ; 3 [, F(x) = (2x−3)/6et si x∈[ 3 ; 4 [,F(x) = (x−2)/2, six>4 F(x) = 1.

3. E(X) =17

6 ,E(Y) = 1.

* Exercice 7 Loi de l’arc-sinus Soitf :R−→R, x7−→







0 six6∈[−1 ; 1 ] 2

π

√

1−x² six∈[−1 ; 1 ].

1. Vérifier quef est une densité de variable aléatoire. Soit X admettantf pour densité.

2. On définitYpar : Y∈[−π/2 ;π/2 ]et sin Y = X. Déterminer une densité de Y.

3. Montrer queE(X)et V(X)existent et les calculer.

Solution (Ex.7 – Loi de l’arc-sinus) 1. En posantx= siny:

Z 1

−1

f(x)dx= 2 π

Z π/2

−π/2

cos²(y)dy= 2 π

Z π/2

−π/2

cos(2y) + 1 2 dy= 1.

2. Y(Ω) = [−π/2 ;π/2 ]et,sin étant strictement croissante sur cet intervalle,

∀y∈[−π/2 ;π/2 ],P(Y6y) =P(sin(Y)6sin(y)) = F_X(siny).

Dérivons : fY(y) = cos(y)2

π

p1−sin²y= 2 πcos²y.

EtfY(y) = 0 poury6∈[−π/2 ;π/2 ].

3. x7→xf(x)est impaire et continue sur[−π/2 ;π/2 ]donc intégrable et d’inté- grale nulle :E(X) = 0.

V(X) = E(X²)−0 = Z 1

−1

x²f(x)dx ^x=sin= ^y 2 π

Z π/2

−π/2

sin²ycos²ydy = 1 4 car sin²ycos²y=1

8 −1

8cos(4y).

Exercice 8 Racine d’une variable exponentielle Soitλ >0et f :R−→R, x7−→

(0 six60 λe^−λx six >0.

1. Vérifier quef est une densité de variable aléatoire. Soit X admettantf pour densité.

3. On définitY parY =√

X. Déterminer une densité deY.

4. Montrer queE(Y)et V(Y)existent et les calculer.

Solution (Ex.8 – Racine d’une variable exponentielle)

(4)

1. En posantu=λx, on se ramène à la fonctionΓd’Euler, ou on reconnaît la loi exponentielle de paramètreλ.

2. E(X) = 1/λet V(X) = 1/λ².

3. F_Y(y) = F_X(y²)11_{] 0 ; +∞[}(y),f_Y(y) = 2λye^−λy²11_{] 0 ; +∞}_[(y).

4. E(Y) = 2λ Z +∞

0

y²e^−λy²dy = 1

√λ Z +∞

0

√ue^−udu (j’ai posé u = λy²),

E(Y) = 1

√ λΓ

3 2

= 1 2

rπ

λ, E(Y²) =E(X) = 1

λ,V(Y) =4−π 4λ . Exercice 9 Sup et inf d’une famille de lois de Pareto

Soitnun entier naturel au moins égal à 2. Soit X1,X2, . . . ,Xn nvariables aléa- toires indépendantes toutes de densité

f :R−→R, x7−→







0 six61 1

x² six >1. 1. Étudier l’existence deE(X_i)et deV(X_i).

2. Soit Y = inf

16i6n(X_i) etZ = sup

16i6n

(X_i). Déterminer une densité de Y et une densité deZ.

3. Étudier l’existence, et calculer éventuellement la valeur, deE(Y), deV(Y), de E(Z)et deV(Z).

Solution (Ex.9 – Sup et inf d’une famille de lois de Pareto) 1.

Z +∞

−∞

f(x)dx= Z +∞

0

1

xdxdiverge, niE(Xi)ni V(Xi)n’existent.

2. • Y(Ω) = ] 1 ; +∞[ et pour y ∈] 1 ; +∞[, F_Y(y) =P(Y6y) = 1−P(Y >

y) = 1−P(∩i[X_i > y]) ^indép.= 1−Q

iP(X_i > y) = 1−Q

i(1−F(y)) = 1−(1−F(y))ⁿ= 1− 1

yⁿ carFest la fonction de répartition desXi, définie par primitivation parF(y) =

1−1

y

11_{] 1 ; +∞[}(y).f_Y(y) = n

yⁿ⁺¹11_{] 1 ; +∞}_[(y).

• Z(Ω) = ] 1 ; +∞[et pourz∈] 1 ; +∞[,F_Z(z) =P(Z6z) = P(∩_i[X_i6z])^indép.= Q

iP(X_i6z) =Q

iF(z) = (F(z))ⁿ=

1−1 z

ⁿ . fZ(z) = n

z²

1−1 z

n−1

11_{] 1 ; +∞}_[(z).

3. • E(Y) =n Z +∞

1

dy

yⁿ existe et vaut n

n−1 sin>2.

E(Y²) =n Z +∞

1

dy

yⁿ⁻¹ existe et vaut n

n−2 sin>3.

V(Y)existe et vaut n

(n−2)(n−1)² sin>3.

• zfZ(z) ∼

z→+∞

n z donc

Z +∞

1

zfZ(z)dzdiverge etE(Z), doncV(Z), n’existent jamais.

Exercice 10 Densité polynomiale Soitaun réel et f :R−→R, x7−→

(0 six6∈[ 0 ; 1 ] a(x³−x⁴) six∈[ 0 ; 1 ]. 1. Déterminerapour quef soit une densité de probabilité.

2. SoitXadmettantf pour densité. Expliciter la fonction de répartitionFdeX.

Solution (Ex.10 – Densité polynomiale) 1.

Z 1 0

x³−x⁴dx= 20donca= 20,f(x) =x³−x⁴=x³(1−x)>0.

2. F(x) = (5x⁴−4x⁵)11_{[ 0 ; 1 ]}(x) + 11_{] 1 ; +∞}_[(x).

3. E(X) =10

21,V(X) = 2 63.

Exercice 11 Inversion d’une loiγ

Soit, pourn∈N,In = Z +∞

0

e⁻¹^x xⁿ dx.

1. Prouver, à l’aide de la fonction Γ, que In converge pour n >2 et donner sa valeur.

2. On suppose maintenantn>2. Soitf_n :R−→R, x7−→







0 six60

λ_ne⁻¹^x

xⁿ six >0 . Montrer que, pour une valeur λ_n que l’on calculera, f_n est une densité de probabilité.

3. SoitXn une v.a.r. admettant fn pour densité. Étudier l’existence, et éventuel- lement calculer,E(Xn)etV(Xn).

(5)

Solution (Ex.11 – Inversion d’une loi γ)

1. En posantu= 1/x,I_n= Γ(n−1) = (n−2)!pour n>2.

2. λn= 1

I_n = 1 (n−2)!.

3. E(Xn)existe sin>3et E(Xn) =λnI_n−1= 1 n−2. E(X²_n)existe sin>4et E(X²_n) =λnIn−2= 1

(n−3)(n−2). V(Xn)existe sin>4et V(Xn) = 1

(n−3)(n−2)².

* Exercice 12 Discrète vs à densité

SoitXune v.a.r. positive à densité. SoitY la partie entière deX.

1. Donner la loi deY.

2. Montrer queE(Y)existe si, et seulement si,E(X)existe. Montrer que, dans ce cas,E(Y)6E(X)6E(Y) + 1.

Solution (Ex.12 – Discrète vs à densité)

1. P(Y =k) =P(k>X>k+ 1) = F_X(k+ 1)−F_X(k) = Z k+1

k

f_X(x)dx.

2. Tout repose sur :∀k∈N, ∀x∈[k;k+ 1 ], kf_X(x)6xf_X(x), donc Z k+1

k

kfX(x)dx 6

Z k+1 k

xfX(x)dx, 0 6 uk

déf.= kP(Y = k) 6

Z k+1 k

xfX(x)dx^déf.= vk. SiE(X)existe,P

kvk converge doncP

kuk converge,E(Y)existe.

SiE(Y)n’existe pas,P

kuk diverge doncP

kvk diverge,E(X)n’existe pas.

Y6X<Y + 1et la croissance de l’espérance fait le reste...

Exercice 13 Loi de Weibull

Soitβ∈] 0 ; +∞[et f :R−→R, x7−→

(0 six60 βx^β−1e^−x^β sinon . 1. Montrer que, pour toutk∈N, l’intégraleI_k =

Z +∞

0

x^kβx^β−1e^−x^βdxexiste et calculer sa valeur à l’aide de la fonctionΓd’Euler, en fonction de ketβ. 2. Montrer quef est une densité de probabilité.

3. SoitX une variable admettant f pour densité. Montrer que possède des moments de tous ordres. CalculerV(X)dans le cas particulierβ = 2.

4. On poseY = X^β. Déterminer la loi deY.

5. À l’aide du théorème de transfert et utilisant une densité deY, retrouver l’existence et la valeur des moments deX.

N.B.La loi deXporte le doux nom de loi de Weibull de paramètre β.

Solution (Ex.13 – Loi de Weibull) 1. u=x^β, du=βx^β−1dxconduit àIk =

Z +∞

0

u^k/βe^−udu= Γ k

β + 1

. 2. I0= Γ(1) = 1...

3. E(X^k) = Ik = Γ k

β + 1

. Pourβ= 2 :E(X) = Γ(3/2) =√

π/2,E(X²) = Γ(2) = 1etV(X) =4−π 4 . 4. X(Ω) = ] 0 ; +∞[,Y(Ω) = ] 0 ; +∞[.

Poury >0,FY(y) =P(Y6y) =P(X6y^1/β) = FX(y^1/β), f_Y(y) = 1

βy 1−β

β f(y^1/β) =e^−y,Y,→E(1).

5. E(X^k) =E(Y^k/β)^transf.= Z +∞

0

y^k/βe^−ydy= Γ k

β + 1

.

Exercice 14 Exponentielles itérées Soitf :R−→R, x7−→e^−xe^−e^−x.

1. Montrer quef est une densité de probabilité.

2. Soit X une variable admettant f pour densité. Déterminer la loi de Y = exp(−X).

3. Ypossède-t-elle une espérance ? 4. Établir queXpossède une espérance.

Solution (Ex.14 – Exponentielles itérées) 1.

Z +∞

−∞

e^−xe−e^−xdx=

e−e^−x+∞

−∞

= 1−0 = 1.

2. X(Ω) = R, Y(Ω) = ] 0 ; +∞[, pour y > 0 : FY(y) = P(Y 6 y) = P(X >

−ln(y)) = 1−FX(−ln(y)).

(6)

f_Y(y) = 1

yf(−ln(y)) =e^−y,Y,→E(1).

3. E(Y) = 1.

4. E(X) =E(−ln(Y))^transf.= Z +∞

0

−ln(y)e^−ydy.

• −ln(y)e^−y ∼

y→0ln(y)et Z 1

0

−ln(y)dyexiste (vaut[−yln(y) +y]¹₀= 1). Par

équivalence, Z 1

0

−ln(y)e^−ydy existe.

• |−ln(y)e^−y| = o

y→+∞(ye^−y)et Z +∞

0

ye^−ydy existe (c’estΓ(2)). Par com- paraison,

Z +∞

1

−ln(y)e^−ydy converge absolument donc existe.

E(X)existe...