II Probabilités conditionnelles

(1)

BCPST2

95 2 5 Espaces probabilisés

I Mise en place du cadre

A) Tribu Dénition :

Soit Ωun ensemble. On dit qu'un sous ensembleT de P(Ω)est une tribu si et seulement si : â Ω∈ T.

â T est stable par complémentaire, c'est-à-dire :

∀B∈ T, B∈ T

â T est stable par union dénombrable, c'est-à-dire :

∀(B_n)n≥0 ∈(T)^N,

+∞

[

n=0

B_n∈ T

On appelle les éléments de la tribu évènements.

Proposition :

Soit Ωun ensemble et T une tribu sur Ω. Alors : â ∅ ∈ T

â T est stable par intersection dénombrable.

â Une intersection nie est un cas particulier d'intersection dénombrable.

Il en est de même pour l'union.

B)

Dénition :

Un espace probabilisable est un couple(Ω,T)constitué d'un ensembleΩ et d'une tribuT surΩ. Il permet une modélisation qualitative de l'expérience (aléatoire) étudiée.

L'ensembleΩest appelé l'univers lié à l'expérience et les éléments deT sont appelés les évènements liés à l'expérience.

Remarque:

Ainsi, une union ou une intersection dénombrable d'évènements est encore un évènement.

(2)

Remarque:

G SiΩest ni : Ω ={x₁, x2, . . . , xn}alorsT est l'ensemble des parties deΩ. Exemple : Résultat d'un tir de dé.

G SiΩ est dénombrable : on noteraΩ ={ω_i, i∈N} alorsT est l'ensemble des parties de Ω.

Exemple : Lancer une pièce de monnaie jusquà obtenir pile.

G SiΩest inni et non dénombrable.

Exemple : durée de vie d'une lampe.

T est dicile à expliciter. On admettra que T contient Ω et ∅ et que T est stable par passage au complémentaire, à l'intersection et à l'union.

Dans les faits, on ne se pose pas de question.

Proposition : Vocubulaire

Soit (Ω,T) un espace probabilisable.

G On appelle évènement certain l'évènementΩ.

G On appelle évènement impossible l'évènement ∅.

G SiA est un évènement, on noteA l'évènement contraire àA. G On dit que les évènements AetB sont incompatibles si A∩B =∅.

G On appelle système complet d'évènements une famille nie ou dénombrables (Ai)i∈I d'évène- ments, où I =J1, nK(famille nie) ouI =N(ouN^∗) (famille dénombrable), vériant :

H ∀(i, j)∈I², i6=j, A_i∩A_j =∅. H [

i∈I

A_i = Ω

(3)

C) Probabililité 1) Dénition Dénition :

Soit (Ω,T) un espace probabilisable.

On appelle probabilité sur (Ω,T) une application P:T →R+ vériant : G P(Ω) = 1

G Pour toute suite nie ou dénombrable(Ai)i∈I d'évènements deux à deux incompatibles, on a : P [

i∈I

A_i

!

=X

i∈I

P(A_i)

Cette propriété est appelée σ-additivité.

Pour tout évènement A∈ T,P(A) est appelé probabilité de l'évènementA.

Un espace probabilisable, muni d'une probabilité est appelé espace probabilisé.

On note(Ω,T,P) la donnée d'un espace probabilisé.

Remarque: σ-additivité

â Pour AetB deux évènements incompatibles, on a P(A∪B) =P(A) +P(B) â On a pour toutn∈N^∗, et toute suite d'évènements deux à deux incompatible :

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

i=1

P(Ai)

Cela pourrait se démontrer par récurrence à partir de la seule propriété énoncée pour 2 évènements.

â Si I est dénombrable, X

i∈I

P(A_i) est une série convergente : en eet, la série est à termes positifs et les sommes partielles sont majorées par1.

La propriété porte sur la somme de la série.

Théorème :

Soit Ω ={ω_i, i∈N}. Soit(p_i)i∈N. On suppose : G ∀i∈N, p_i ∈R+

G La série X

p_i est convergente et de somme1.

Alors, il existe une unique probabilité Ptelle que : ∀i∈N, P({ω_i}) =pi.

2) Propriétés Proposition :

Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé. On a alors : G P(∅) = 0.

G Pour A∈ T,P(A) = 1−P(A) et0≤P(A)≤1.

G Pour A, B∈ T tels queA⊂B,P(A)≤P(B).

G Pour tout couple(A, B)∈ T², on a :

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) Démonstration :

(4)

Remarque:

G Soit Aun évènement tel que P(A) = 1.

On dit que A est presque certain ou presque sûr.

G Soit Aun évènement tel que P(A) = 0. On dit que A est négligeable.

Exemple :

©

On joue à pile ou face et on s'arrête dès qu'on a tiré pile.

Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement.

3) Propriétés des sytèmes complets d'évènements Proposition :

Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé.

Soit (Ai)i∈I un système complet d'évènements, ni ou dénombrable.

G On a :

X

i∈I

P(Ai) = 1 G Soit un évènementB ∈ T,

P(B) =X

i∈I

P(B∩Ai)

Démonstration :

II Probabilités conditionnelles

A) Dénition Théorème :

Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé. Soit Aun évènement vériant P(A)6= 0. L'application :

P_A: T → R

B 7→ P(B∩A) P(A) est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle sachantA.

P_A(B) noté aussiP(B|A) est appelée probabilité deB sachant A.

B) Probabilités composées Théorème :

Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2.

Soit (Ai)1≤i≤n une famille d'évènements telle queP(A1∩ · · · ∩An)6= 0. On a :

P(A₁∩ · · · ∩A_n) =P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁∩A₂). . .P(A_n|A₁∩ · · · ∩An−1)

Il est souvent judicieux de représenter les probabilités conditionnelles à l'aide d'arbres.

(5)

Exemple :

©

On considère une urne contenant quatre boules blanches et trois boules noires.

On tire successivement et sans remise trois boules.

Calculer la probabilité de tirer 2 boules noires.

Exemple :

©

On eectue des tirages dans une urne contenant initialementaboules blanches etbboules noires. Après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne avec c boules de la même couleur.

G Déterminer la probabilité p_n pour que la première boule blanche soit obtenue au n-ième tirage.

G On pose a0= 1 etan=

n−1

Y

k=0

b+kc

a+b+kc. Montrer que pn=an−1−an. G Déterminer

+∞

X

n=1

pn. Conclure.

C) Probabilités totales

Théorème :

Soit (Ai)i∈I un système complet d'évènements ni ou dénombrable.

On suppose :∀i∈I,P(A_i)6= 0. Pour tout évènement B, on a :

P(B) =X

i∈I

P(B|A_i)P(Ai)

Démonstration : Remarque:

On appelle système quasi-complet, une suite(A_n)d'évènements deux à deux incompatibles et tels que

+∞

X

i=0

P(A_n) = 1.

On suppose de plus qu'on peut avoirP(A_i) = 0 pour certaines valeurs dei. Pour tout évènement B, on a :

P(B) =X

i∈I

P(B|A_i)P(A_i)

en convenant que : siP(A_i) = 0 alors on poseP(B|A_i)P(A_i) = 0.

(6)

D) Formule de Bayes Théorème :

Soit (A_i)i∈I un système complet d'évènements ni ou dénombrable.

On suppose :∀i∈I,P(Ai)6= 0.

Soit B un évènement de probabilité non nul.

On a :

P(A_i|B) = P(B|A_i)P(A_i) X

j∈I

P(B|A_j)P(A_j)

Démonstration : Remarque:

Il est peu utile d'aprendre cette formule par coeur, il vaut mieux savoir la retrouver.

En voici un cas particulier très courant :

Soit A, B deux évènements tels que0<P(A)<1 etP(B)6= 0. On a :

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B|A)P(A) +P(B|A)P(A) Exemple :

©

Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur 10000.

Un test de dépistage donne les informations suivantes : G Si la personne est malade, le test est positif à 99%.

G Si la personne n'est pas malade, le test est positif à 0.1%.

Calculer la probablitié qu'une personne soit malade si le test est positif. Conclure ?

E) Indépendance Dénition :

Soit (Ω,T, P) un espace probabilisé.

Soit AetB deux évènements.

On dit que A etB sont indépendants si et seulement si P(A∩B) =P(A)P(B) Remarque:

Soit AetB deux évènements. On suppose P(A)6= 0.

A etB sont indépendants si et seulement siP(B|A) =P(B) Dénition :

Soit (A_i)i∈I une famille nie ou dénombrable d'évènements.

On dit que les évènements(A_i)sont mutuellement indépendants si et seulement si pour toutp-uples (i1, i2. . . , ip) d'indices distincts, on a :

P





\

1≤k≤p

Ai_k



= Y

1≤k≤p

P(Ai_k)

(7)

BCPST2

95 2 5 ^Exercices

Deux joueurs lancent tour à tour un dé. Le premier qui tire un six a gagné. Quelle est la probabilité de gagner pour chacun des joueurs ? Que personne ne gagne ?

On met une boule blanche dans une urne. On répète alors les opérations suivantes : on lance un dé .

* si le résultat est diérent de 6, on ajoute une boule rouge dans l'urne, puis on recommence.

* si le résultat est 6, on tire une boule dans l'urne et on s'arrête.

Quelle est la probabilité de s'arrêter ? Quelle est la probabilité, qu'à la n, on tire une boule blanche dans l'urne ?

La probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est1/10.

Quelle est la probabilité pour que, sur dix forages, on ait au moins un succès ?

Combien de forages sont-il nécessaires pour avoir au moins une chance sur deux de succès ?

Une urne contient 4 boules blanches, 6 rouges et 10 noires.

1^◦) On tire trois boules, successivement et avec remise. Calculer la probabilité que le tirage soit tricolore, bicolore ou unicolore.

2^◦) Même question si le tirage des trois boules est simultané.

Un étudiant doit répondre à une question à choix multiple où cinq réponses sont proposées, une seule étant correcte. Quand l'événementA: l'étudiant à bien travaillé est réalisé, la réponse fournie est la bonne réponse. Dans le cas contraire l'étudiant répond au hasard. Si l'événementB : la réponse fournie est correcte est réalisé, calculer la probabilitéP(A|B) en fonction de p=P(A).

Il pleut en moyenne 3 jours sur 10. Deux radios A et B annoncent la météo, avec une abilité de 95% pour la première, et de 90% pour la seconde (c'est-à-dire que, par exemple, s'il doit pleuvoir, la probabilité que la première radio ait fait la bonne prédiction est de 0, 95.) Lundi matin, la radio A annonce beau temps, et la radio B annonce de la pluie. Quelle est la probabilité qu'il pleuve ?

Le gardien d'un phare doit ouvrir une porte avec un trousseau denclefs dont une seule convient. Il essaye les clefs les unes après les autres. On cherche la probabilitép_k que la porte s'ouvre au bout du k-ième essai. NotonsAi l'événement lai-ième clef essayée ne convient pas . Lorsque le gardien est ivre (ce qui arrive en moyenne 3 jours par semaine), il oublie, après chaque tentative, quelle clef il a essayé.

1^◦) Calculer p₁ etp₂ dans chacun des cas (ivre ou non)

2^◦) Exprimerp_k en fonction desA_i , et en déduire p_k dans chacun des cas.

3^◦) Un jour, le gardien utilise 9 clefs ; quelle est la probabilité qu'il soit ivre ? 4^◦) Même question sachant que le gardien a utilisé au moins 9 clefs.

(8)

On signale m soucoupes volantes dans le ciel américain. L'armée envoie nm missiles, ayant chacun une probabilitépd'atteindre leur objectif. On dispose de deux stratégies :

H S1 : on vise chaque soucoupe avec nmissiles ;

H S2 : on laisse chaque missile se choisir une cible au hasard. (On suppose qu'un missile ne peut atteindre, avec une probabilité p, que sa cible, mais en aucun cas une autre cible. On suppose de plus que les missiles agissent indépendamment les uns des autres.)

1^◦) Quelle est la probabilité d'atteindre une soucoupe donnée avec chacune de deux stratégies ? 2^◦) Que se passe-t-il lorsquem tend vers l'inni, nétant xé ? Quelle stratégie choisir ?

Deux joueurs A et B jouent. A lance deux fois une pièce équilibrée. B ne lance qu'une fois une pièce qui fait pile avec la probabilitép. Le gagnant est celui qui fait le plus de faces . Tant qu'il y a égalité, ils rejouent.

1^◦) Quelle est la probabilité qu'il y ait égalité au premier tour ? 2^◦) Quelle est la probabilité que le jeu de n'arrête jamais ? 3^◦) Quelle est la probabilité que A gagne le jeu ?

4^◦) Existe-t-il un ptel que le jeu soit équitable ? Qui a le plus de chance de gagner ?

1^◦) Quelle est la probabilité d'obtenir une quinte ush au premier coup sans tricher avec un jeu de 52 cartes ?

2^◦) Vous jouez au poker avec Pat Poker (tricheur célèbre dans Lucky Luke, probabilité qu'il triche 0,9, probabilité qu'il réussisse son coup et sorte une quinte ush s'il triche : 0,9). Il abat une quinte ush au premier coup. Quelle est la probabilité qu'il ait triché ?

3^◦) Vous avez eu le malheur de répondre à la question précédente et de conclure à voix haute.

Comme vous êtes moins bon tireur que Pat Poker, vous vous retrouvez devant Saint-Pierre.

Pour passer le temps, vous commencez à jouer au poker avec lui.

Probabilité que Saint-Pierre soit tenté de tricher : 10⁻⁵. Probabilité de réussir son coup et de sortir une quinte ush s'il triche : 0,5. Il abat une quinte ush au premier coup. Quelle est la probabilité qu'il ait triché ?

4^◦) Vous l'accusez, il nie trois fois. Le jour se lève et un coq se met à chanter. (Au paradis, après les nuits où Saint-Pierre a menti trois fois, le coq chante avec une probabilité0,9; après les autres, avec une probabilité un demi)

Muni de cette information supplémentaire, calculer la probabilité que Saint-Pierre ait triché.

Vaut-il mieux PPF ou FPP ?

On considère une suite innie de lancers d'une pièce équilibrée. Igor et Willow s'arontent dans un jeu dont les règles sont les suivantes.

* Igor est gagnant si la conguration pile, pile, face apparaît dans la suite des lancers avant que la conguration face, pile, pile n'apparaisse.

* Willow est gagnant si la conguration face, pile, pile apparaît dans la suite des lancers avant que la conguration pile, pile, face n'apparaisse.

On se propose de déterminer lequel des deux joueurs a plus de chances de gagner.

1^◦) Pour toutn≥3, on noteG_nl'événement : Igor est déclaré gagnant à l'issue dun-ième lancer, et l'on pose gn=P(Gn)

(9)

¬ Calculer g₃ etg₄. Montrer que, pour tout n≥3, on ag_n= 1

2ⁿ.pour toutn.

En déduire la probabilité qu'Igor soit déclaré gagnant.

2^◦) On noted_n la probabilité que, lors desnpremiers lancers, n'apparaisse jamais deux pile consé- cutifs.

¬ Calculer d₁ etd₂ .

En considérant le résultat des deux premiers lancers, montrer, pour tout n, d_n+2 = 1

2d_n+1+ 1 4d_n

® En déduire dn.

¯ En déduire que la série P

dn converge et calculer sa somme.

° Pour tout n ≥ 3, on note An l'événement un joueur est déclaré gagnant à l'issue du n-ième lancer et, pour toutn≥2, on noteBn: aucun joueur n'est encore déclaré gagné gagnant à l'issue dun-ième lancer.

3^◦) ¬ Montrer, pour tout n≥2:P(B_n) = 1

2ⁿ +d_n .

En déduire, pour tout n≥4:P(A_n) = 1 2ⁿ + 1

2³dn−3.

® Montrer que la probabilité que l'un des joueurs soit déclaré gagnant vaut1.

¯ En déduire la probabilité que Willow soit déclaré gagnant.

° Conclure.

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