ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 4
ECS2
Colle de 17h à 18h
Exercice 4.1
DansR4[X], on poseF ={P ∈R4[X] : P(0) = 0},G={P ∈R4[X] : P(4) = 0}et H =F∩G.
1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR4[X] et en donner une base.
2. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R4[X] et en donner une base formée de puissances de (X−4).
3. Montrer queH ={X(X−4)×Q, Q∈R2[X]}. En déduire une base deH. 4. Déterminer un supplémentaire deH dansE.
Exercice 4.2
On dispose d’une pièce équilibrée. On noteX la variable aléatoire qui prend pour valeur ksi l’on obtient pour la première foispilepuisfaceaux lancers (k−1) etk(aveck∈N,k≥2),X prenant la valeur 0 si l’on n’obtient jamais une telle succession.
On noteP1l’événement « on obtientpile au premier lancer ».
1. DéterminerPP1(X=k) pour toutk≥2.
Justifier que PP
1(X =k) =P(X =k−1) pour toutk≥3.
2. En déduire que pour tout k≥3,P(X =k) =1
2P(X =k−1) + 1 2k.
3. Pour toutk≥2, on poseuk= 2kP(X=k). Montrer que la suite (uk)k≥2est arithmétique.
En déduire la loi deX.
4. La variable aléatoireX admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 4.3
Soitc ∈ N∗. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d’être tirée, et on note sa couleur. On la remet alors dans l’urne aveccboules de la couleur tirée.
On répète cette opération, et on réalise ainsi une succession de tirages.
Pour toutn∈N∗, on noteXn la variable aléatoire égale à 1 si on obtient une boule blanche aun-ème tirage, et 0 sinon.
SoitSn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors desntirages.
1. Déterminer la loi deX1. 2. (a) Montrer que :
P[X1=1](X2= 1) =1 +c 2 +c. (b) Montrer queX2suit une loi de Bernoulli de paramètre 1
2. 3. Soitn∈N∗.
(a) DonnerSn(Ω), et exprimerSn en fonction deX1, . . . , Xn. (b) Montrer que :
P[Sn=k](Xn+1= 1) = 1 +ck 2 +cn.
(c) On noteE(Sn) l’espérance de la variable aléatoireSn. Montrer que la variableXn+1 suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 +cE(Sn)
2 +cn .
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Colle de 18h à 19h
Exercice 4.4
Soientp∈N∗etE l’ensemble des suites réellesp-périodiques, c’est-à-dire l’ensemble des suites (un) telles que :
∀n∈N, u(n+p) =u(n).
Par exemple, la suite :
u= (u0= 1, u1= 2, u2= 3, u3= 1, u4= 2, u5= 3, u6= 1, . . .) est une suite 3-périodique.
1. Montrer queE est unR-espace vectoriel.
2. On considère la famille de suites (Ui)0≤i≤p−1 définie pour tout 0≤i≤p−1 par :
∀n∈N, Ui(n) =
(1 si il existe k∈N, n=i+kp
0 sinon. ,
soit en d’autres termes si :
Ui= (0, . . . ,0,
ièmeposition
z}|{1 ,0, . . . ,0
| {z }
ptermes
,0, . . . ,0,
(i+p)èmeposition
z}|{1 ,0, . . . ,0
| {z }
ptermes
, . . .).
(a) Montrer que les suitesUi appartiennent àE.
(b) Montrer la famille (Ui) avec 0≤i≤p−1 est libre.
(c) Donner une base deE. En déduire la dimension deE.
Exercice 4.5
On effectue une succession infinie de lancers d’une pièce équilibrée. A chaque lancer, à partir du deuxième, si le côté obtenu est différent du côté obtenu au lancer précédent, on marque un point.
Pourn≥2, soitXn la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus à l’issu denlancers.
1. Déterminer les lois , les espérances et les variances deX2 etX3.
2. Soitn≥2, quel est l’ensemble des valeurs prises parXn? DéterminerP(Xn= 0) et P(Xn=n−1).
3. Soitn≥2, soitk∈J1, nK, montrer que:
P(Xn+1=k) =1
2P(Xn =k) +1
2P(Xn=k−1).
4. Soitn≥2. On poseQn:
R → R s 7→
n−1
X
k=0
P(Xn =k)sk.
(a) Soitn≥2. CalculerQn(1) et montrer queQ0n(1) =E(Xn). ExprimerV(Xn) à l’aide de la fonction Qn.
(b) Montrer que, pour toutn≥2, pour touts∈R:
Qn+1(s) = (1 +s) 2 Qn(s).
(c) En déduire une expression deQn(s) en fonction denet de s.
(d) Calculer alors, pour toutn≥2, l’espérance et la variance deXn.
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