Examen du cours LM231 (Probabilité et statistique) Université Pierre et Marie Curie
Enseignant du Cours: Professeur invité A.Bulinski
Enseignants de TD: C.Denis, S.Lecorff, D.Matthieu, S.Robbiano, C.Rossant le 6 juin 2011 (2 heures; sans documents ni calculatrice)
1. On jette au hasard un point (ξ, η) dans le carré [0,9]×[0,9]. Plus exactement on suppose queξ etη sont des variables aléatoires indépendantes uniformement distribuées sur l’intervalle [0,9]. Calculer la probabilité que l’équation x2 +ξx+η = 0 n’ait pas de racines réelles.
2. Trouver tous les réels a, b tels que la fonction suivante est la fonction de répartition d’une mesure de probabilité sur (R,B(R))
F(x) =
(a−b) cosx, x∈]− ∞, a[,
b
8(x−b)2+a2, x∈[a, a+ 2], 1−aexp{−(x−b−2)}, x∈]a+ 2,∞[.
3. SoitX et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X ∼B(p)etY ∼Exp(λ)où B(p)etExp(λ)sont les lois de Bernoulli et exponentielle, respectivement;p∈]0,1[etλ ∈]0,∞[.
Calculer var X·Y − λ1X2−p .
4. Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires. Supposons que Xn P
−→ Y et Xn P
−→ Z (n→ ∞), où Y etZ sont des variables aléatoires. Montrer queY =Z presque sûrement.
5. Soit X1, X2, . . . une suite de variables aléatoires indépendantes telles que P(Xk =−kα) = P(Xk =kα) = 1/2, k ∈N∗. Montrer que pourα ≥1
(a) la loi des grands nombres n’est pas satisfaite (Indication: utiliser les fonctions caractéristiques);
(b) le théorème central limite est satisfait, c’est-à-dire(Sn−ESn)/√
varSn −→loi Z ∼N(0,1), n→ ∞, où Sn =X1+. . .+Xn, n∈N∗.
6. Donner la définition de la loi Gaussienne N(a, C) dans Rn. Trouver la distribution du vecteurY =AX, où le vecteurX = (X1, . . . , Xn)∼N(a, C)et A= (ak,j)nk,j=1 est une matrice dont les éléments sont réels.
7. Soit X1, . . . , Xn des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Trouver un estimateur du maximum de vraisemblance de λ. Calculer l’information de Fisher et expliquer si l’estimateur trouvé est efficace.
8. Soit s(n) une variable aléatoire qui suit la loi de Student à n degrés de liberté, c’est-à-dire s(n) = ξ0/ηn où ηn = p
(ξ12+. . .+ξn2)/n et ξ0, . . . , ξn sont les variables aléatoires i.i.d. telles que ξ0 ∼N(0,1). Montrer que s(n)−→loi Z quand n→ ∞, où Z ∼N(0,1).
