(1) Soit C T l’ensemble des fonctions continues de R dans R, T -p´ eriodiques. Pour λ > 0 on d´ efinit

TD DU 02/03/12 ET DU 09/03/12

Exercice 1 . Oral ENS 99

(1) Soit C _T l’ensemble des fonctions continues de R dans R, T -p´ eriodiques. Pour λ > 0 on d´ efinit

∀f ∈ C _T , T λ f : x 7→ 1

√ λ

Z +∞

−∞

f (x − u)ρ u

√ λ

du

o` u ρ : R → R est une fonction continue, paire, telle que u 7→ u ³ ρ(u) soit int´ egrable sur R et Z +∞

−∞

ρ(t) dt = 1.

Montrer que T _λ f est bien d´ efinie et est dans C _T .

(2) Si f ∈ C _T ∩ C ³ ( R , R ), donner un d´ eveloppement limit´ e de λ 7→ T _λ f avec deux termes, uniforme en x (i.e. ∃α, ∃o(λ ^α ), ∀x ∈ R , ∃P (x, λ), T _λ f (x) = P (x, λ) + o(λ ^α ).)

(3) Soit F (x, t) ∈ C ³ ( R ² , R + ) telle que ∂F

∂t = ∂ ² F

∂x ² sur R × R + et ∀x ∈ R , f (x) = F (x, 0). On suppose en outre que ∀t _> 0, F (., t) ∈ C _T (f est toujours C ³ ).

Montrer qu’il existe C ∈ R tel que

∀(x, t) ∈ R × R + , lim

n→+∞ T _t/n ⁿ f (x) = F (x, Ct) o` u ∀λ > 0, T <sub>λ</sub> <sup>n</sup> est la compos´ ee n-i` eme de l’op´ erateur T λ .

1

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Solution 1

(1) ρ est int´ egrable sur R car |ρ(u)| 6

( |ρ(u)| si |u| 6 1

|u| ³ .|ρ(u)| si |u| > 1 ce qui fournit aussi l’hypoth` ese de domination. Comme (x, u) 7→ f (x − u)ρ

u

√ λ

est continue, T _λ f ∈ C _T grˆ ace au th´ eor` eme de continuit´ e sous le signe int´ egral. La T-p´ eriodicit´ e est imm´ ediate.

(2) On utilise la formule de Taylor-Lagrange

f (x + u) = f (x) + uf ⁰ (x) + u ²

2 f ⁰⁰ (x) + u ³ 6 f ⁰⁰⁰ (c) et on l’applique pour u = − √

λt.

A ` x fix´ e, u 7→ f ⁰⁰⁰ (c) est continue (pour u 6= 0, c’est imm´ ediat et cette application se prolonge par continuit´ e en 0 par f ⁰⁰⁰ (x)).

Comme f ⁰⁰⁰ est born´ ee (continue et T -p´ eriodique) alors t 7→ t ³ ρ(t)f ⁰⁰⁰ (c) est int´ egrable sur R d’o` u

T λ f (x) = f(x) Z

R

ρ(t) dt − √ λf ⁰ (x)

Z

R

tρ(t) dt + λ 2 f ⁰⁰ (x)

Z

R

t ² ρ(t) dt − λ ^3/2 6

Z

R

t ³ ρ(t)f ⁰⁰⁰ (c) dt.

Or Z

R

tρ(t) dt = 0 car ρ est paire et, si on pose A i = Z

R

t ⁱ ρ(t) dt on obtient finalement T _λ f (x) = f(x) + λ

2 A ₂ f ⁰⁰ (x) − λ ^3/2 6

Z

R

t ³ ρ(t)f ⁰⁰⁰ (c) dt

| {z }

=λ

m(0,λ,x)

o` u m(0, λ, x) est born´ e ind´ ependamment de x car |f ⁰⁰⁰ (c)| ₆ kf ⁰⁰⁰ k _∞ .

(3) Pour t ⁰ ∈ [0, ^(n−1)A _2n

^t ] on a, en appliquant la formule pr´ ec´ edente ` a g(x) = F (x, t ⁰ ), T _t/n F (x, t ⁰ ) = F (x, t ⁰ ) + A 2 t

2n

∂ ² F

∂x ² (x, t ⁰ ) − 1

n ^3/2 m(t ⁰ , t/n, x)

= F (x, t ⁰ ) + A ₂ t 2n

∂F

∂t (x, t ⁰ ) − 1

n ^3/2 m(t ⁰ , t/n, x)

= F (x, t ⁰ + t

2n A ₂ ) + 1

n ² p(t ⁰ , t, n, x) − 1

n ^3/2 m(t ⁰ , t/n, x) o` u p(t ⁰ , t, n, x) = −

A ₂ t 2

2

∂F

∂t (x, t ⁰ + θ ^A _2n

^t ) est obtenu avec l’´ egalit´ e des accroissements fi- nis (appliqu´ e ` a F (x, .)) et m(t <sup>0</sup> , t/n, x) correspond ` a la quantit´ e mise en ´ evidence lors du d´ eveloppement de T _λ f (x) en prenant F (x, t ⁰ ) ` a la place de f(x).

On peut majorer p(t ⁰ , t, n, x) uniform´ ement en t ⁰ et x en prenant la borne sup´ erieure de la d´ eriv´ ee seconde sur [0, ^A ₂

^t ]. De mˆ eme m(t ⁰ , t/n, x) est uniforme en t ⁰ et en x (on reprend la majoration de la question pr´ ec´ edente, t ⁰ d´ ecrit un compact, c ∈ [0, x]). On a ainsi T _t/n F (x, t ⁰ ) = F(x, t ⁰ + _2n ^t A 2 ) + 1

n ^3/2 q(t ⁰ , t, n) o` u q est uniform´ ement born´ ee en t ⁰ et en x.

Or T _λ est un op´ erateur lin´ eaire de norme 1 donc T _λ 1

n ^3/2 q(t ⁰ , t, n)

= 1

n ^3/2 r(t ⁰ , t, n) o` u, comme q, r est uniform´ ement born´ ee en t ⁰ et en x. Par cons´ equent, en notant r k = r(kA ₂ t/(2n), t/n, x), on a par r´ ecurrence sur k,

T _t/n ^k F (x, 0) = F(x, kA 2

2n t) + 1 n ^3/2

k−1

X

i=0

r i = F (x, kA 2

2n t) + R _k o` u |R _k | 6 k

n ^3/2 M o` u M est un majorant des r _k . Pour k = n on obtient T _t/n ⁿ f (x) = F (x, ^A ₂

t) + O

1

√ n

soit lim

n→+∞ T _t/n ⁿ f (x) = F (x, ^A ₂

t).

C = A ₂

2 convient.