SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES (exercices) Exercice 1 : Déterminer le nombre de solutions de ces systèmes (dans le cas d’une solution unique, on ne demande pas de la déterminer)

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SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES (exercices)

Exercice 1 :

Déterminer le nombre de solutions de ces systèmes (dans le cas d’une solution unique, on ne demande pas de la déterminer)

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

=

−

= +

−

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

= −

− −

−

+ +

− =

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

= +

−

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

= +

⎩ ⎨

⎧

=

−

−

=

− +

⎩ ⎨

⎧

+

=

−

=

y y x

x y x f

y y

x

x y y x e

x y

y x d

y x

y x c

y x

y b x

x y

x a y

3 2 2 2 3

0 3 2

) 2

6 5 2

1 3

) 3 ( 2

2 4 2 3

3 4 )

3 5 3 2

0 10 6 4 )

5 , 2 0 3

1 3 2 )

0 4 3

0 4 ) 3

3 2

3 ) 2

Exercice 2 :

Résoudre, à l’aide de la méthode de votre choix, les systèmes de deux équations à deux inconnues proposés :

a) _⎩ ^{⎨ ⎧} 3 x – y = 9

– x + 4 y = – 14 S = {(2 ; – 3)}

b) _⎩ ^{⎨ ⎧} 10 x + 7 y = 1 900

15 x – 2 y = 975 S = {(85 ; 150)}

c) _⎩ ^{⎨ ⎧} 4 x + 5 y = 0

– 8 x – 10 y = – 2 S = ∅

d) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ y = x + 2 y = 2 x

5 – 7 S = {(– 15 ; – 13)}

2

e) _⎩ ^{⎨ ⎧} 8 x + 14 y = 312

2 y + 3 x = 78 S = {(18 ; 12)}

f) _⎩ ^{⎨ ⎧} 4 x + 3 y = 156 – 4 y

3 x = 234 – 6 (x + y) S = {(18 ; 12)}

Exercice 3 :

Résoudre les systèmes suivants :

⎩ ⎨

⎧

= +

− +

−

= + +

−

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

= +

=

−

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

=

−

−

= +

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

− + =

− −

− =

− +

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

+

= +

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

=

⎩ ⎨

⎧

=

−

= +

⎩ ⎨

⎧

= +

=

−

5 ) 5 ( 5 ) 2 ( 6

8 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 4 15

3 4 2

5 9 ) 3 13

3 12 2

3 2 ) 2 11

2 2 2 3

3 4 1

2 2

1 ) 9

6 8 2

3 2

3 ) 2 7

3 3 2

5 9 ) 2

5

20 2 6

10 ) 7

3

3 ) 5

1

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

x y

x y y

x y

x y

y x

y x

y x

y x

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

+

=

−

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

= −

− +

=

−

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

=

−

= +

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

+

− = + −

−

− = +

⎩ ⎨

⎧

= +

− +

= + +

−

⎩ ⎨

⎧

−

−

= +

=

⎩ ⎨

⎧

+

=

−

= +

−

⎩ ⎨

⎧

=

−

= +

−

) 3 3 ( 2 ) 2 4 ( 3

) 2 8 ( 5 ) 5 3 ( ) 2 16

12 1 6 3

3 1 3 2 ) 2 14

3 12 12

2 9 1 4 3 ) 12

3 4 2 2 6

1 2 1

3 ) 4

10

14 ) ( 3 ) ( 4

2 ) ( 3 ) 2 ( ) 4 8

11 3 8

3 ) 8

6

8 2

13 3

) 2 4

13 5 6

1 ) 3

2

y x

y x

y x x y

y x

y x

y x y x

y x x

y x y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

y x

y

x

3

Exercice 4 :

a) Résoudre par la méthode de votre choix les trois systèmes suivants :

b) Représenter graphiquement les droites des systèmes précédents et justifier l’ensemble solution S trouvé

Exercice 5 :

Un camion transporte 20 caisses de masses différentes : les unes pèsent 14 kg, les autres 8 kg.

Sachant que la charge totale est de 208 kg, combien y a-t-il de caisses de chaque catégorie ? Exercice 6 :

Pour 161 euros, Dominique peut acheter 7 CD et 8 cassettes.

Pour 162 euros, Dominique peut acheter 4 CD et 16 cassettes.

Quels sont les prix d’un CD et d’une cassette ? Exercice 7 :

Deux nombres vérifient simultanément les deux conditions suivantes : 1. La différence entre le triple de l’un et le double de l’autre est 6.

2. La différence entre leur somme et le triple de leur différence est 8.

Trouver ces deux nombres.

Exercice 8 :

Un viticulteur vend des caisses de 12 bouteilles de vin, composées soit de 6 bouteilles de vin blanc et 6 bouteilles de vin rosé pour le prix de 90 euros la caisse, soit de 10 bouteilles de vin blanc et 2 bouteilles de rosé pour le prix de 86 euros la caisse.

Déterminer le prix d’une bouteille de vin blanc ainsi que celui d’une bouteille de rosé.

Exercice 9 :

Quand on enlève le double de l’âge de Marc au triple de l’âge de Paul, on trouve 83 ans. Quand on additionne l’âge de Marc à celui de Paul, on trouve 61 ans. Quel est l’âge de chacun ?

Exercice 10 :

Il y a 6 ans, l’âge de ma sœur valait quatre fois le mien. Aujourd’hui, la moitié de son âge dépasse le mien d’un an. Quels sont nos âges ?

Système 1 :

⎩ ⎨

⎧ x + y = 4

– 2 x + y = – 2 Système 2 :

⎩ ⎨

⎧ x + y = 4

x + y = 0 Système 3 :

⎩ ⎨

⎧ x + y = 4

2 y = 8 – 2 x

4

Exercice 11 :

Durant la saison, Stéphane a vendu 150 parapluies de luxe et 800 cravates en soie.

Le chiffre d’affaires total de ses ventes est de 6 400 €.

Son bénéfice est de 30 % sur le prix de vente d’un parapluie et de 20 % sur le prix de vente d’une cravate ; son bénéfice total est de 1 400 €.

a) On note x le prix de vente en euros d’un parapluie et y celui d’une cravate en soie.

1) Exprimer le bénéfice en fonction de x, sur la vente d’un parapluie.

2) Exprimer le bénéfice en fonction de y, sur la vente d’une cravate.

3) Exprimer le bénéfice en fonction de x et y, sur toutes les ventes durant la saison.

b) Calculer le prix de vente d’un parapluie et celui d’une cravate, en résolvant un système à déterminer.