Programme de colle série 8
ECS 1
Semaines du 22 février et 1 mars
1 Variables aléatoires sur un espace ni - Cours et exercices
Variable aléatoire réelle : dénition, système complet d'événements associé.
Loi d'une variable aléatoire : dénition, conditions pour qu'une suite nie donnée soit la loi d'une variable aléatoire.
Fonction de répartition : dénition, liens avec la loi, propriétés (croissance, continuité, limites).
Fonction d'une variable aléatoire : dénition, calcul de la loi.
Espérance : dénition, propriétés (bornes et linéarité), théorème de transfert.
Moments d'une variable aléatoire, moments centrés.
Variance : dénition, cas d'une combinaison linéaire, formule de Huygens.
Variable aléatoire centrée réduite associée à une variable.
Loi certaine : dénition, espérance, variance.
Cas des variables aléatoires de variance nulle.
Loi de Bernoulli : dénition, espérance, variance. Variable indicatrice d'un événement.
Loi binomiale : dénition, espérance, variance, interprétation en termes de succès et d'échecs.
Loi uniforme sur [[1, n]], puis sur[[a, b]]: dénition, espérance, variance.
Démonstrations à connaître :
Formules reliant la loi et la fonction de répartition.
Formule de Huygens.
Cas des variables aléatoires de variance nulle.
2 Intégration - Cours et exercices
Primitive d'une fonction, condition susante d'existence. Ensemble des primitives.
Linéarité de la primitive, primitive du produit, du quotient. Composées classiques. Primitives usuelles.
Intégrale d'une fonction continue sur un segment.
Relation de Chasles et sa généralisation.
Intégrale d'une fonction continue par morceaux surI : dénition, linéarité, relation de Chasles.
Fonction dénie par une intégrale : propriétés, calcul de la dérivée dans le cas général.
Positivité et croissance de l'intégration. Cas de l'intégrale nulle si la fonction est positive et continue. Inégalité de la moyenne. Inégalité triangulaire.
Intégration par parties.
Changement de variables.
Sommes de Riemann : dénition, convergence dans le casC1 et dans le cas des fonctions conti- nues, interprétation géométrique.
Démonstrations à connaître :
Dérivée d'une fonction dénie par une intégrale Rv(x) u(x). Inégalité triangulaire pour les intégrales.
Théorème de changement de variable.
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3 Dérivées successives - Cours et exercices
Fonctionsp fois dérivables, de classe Cp, de classeC∞, espaces vectoriels associés.
Dérivées n-ièmes des fonctions usuelles.
Dérivée d'une combinaison linéaire, d'une fonction polynomiale. Ordre de calcul des dérivées.
Formule de Leibniz. Dérivabilité des fonctions composées.
Formule de Taylor avec reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange.
Démonstrations à connaître : Formule de Leibniz.
Formule de Taylor avec reste intégral.
Inégalité de Taylor-Lagrange.
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