Informatique 2009-2010 : TP 8 Polynômes de Tchebychev et d’interpolation. Algorithme de Kronecker. MPSI B Hoche

Informatique 2009-2010 : TP 8 Polynômes de Tchebychev et d’interpolation. Algorithme de Kronecker. MPSI B Hoche

1. Polynômes de Tchebychev

Soit (T

)

la suite de polynômes de R [X ] définie par :



 

 

T

=1 T

=X

∀n ∈ N : T

=2XT

− T

Ces polynômes sont appelés polynômes de Tchebychev (de première espèce) Tracer le graphe des fonctions polynomiales attachées aux polynômes T

et T

dans un intervalle [−1.1, 1.1].

2. Polynômes d’interpolation

1. Former une procédure de nom interpL prenant trois paramètres n, B, V tels que :

– n désigne un entier n supérieur ou égal à 1.

– B est un tableau indexé de 1 à n dont les valeurs sont des nombres deux à deux distincts (de type float) x

, · · · x

.

– V est un tableau indexé de 1 à n dont les valeurs sont des nombres (de type float) v

, · · · , v

.

La procédure doit renvoyer un polynôme (en X) de degré inférieur ou égal à n − 1 et prenant en B[i] la valeur V[i] pour i entre 1 et n. On dira que ce polynôme est le polynôme d’interpolation basée sur B et de valeurs V.

On rappelle que ce polynôme est combinaison linéaire des polynômes d’in- terpolation de Lagrange

L

= Y

j∈{1,···,n}\{i}

X − x

x

− x

2. Vérifier en utilisant la fonction Maple interp .

3. Tracer sur un même dessin les graphes (sur l’intervalle [−10, 10]) de la fonc- tion exponentielle et du polynôme d’interpolation basée sur la subdivision régulière à n + 1 points de l’intervalle pour n = 4.

3. Algorithme de Kronecker

Ce TP utilise des polynômes d’interpolation de Lagrange, sa solution nécéssite une fonction permettant d’en générer.

L’algorithme de Kronecker

permet de factoriser dans Z [X ] un polynôme P à coefficients entiers.

Il repose sur l’essai exhaustif d’une famille de polynômes d’interpolation formée à partir des diviseurs des valeurs de P en des points entiers donnés ; par exemple 0, 1, −1, 2, −2, · · · . Cet algorithme est simple mais très coûteux.

Supposons Q et R dans Z [X] et vérifiant P = QR. Pour tout x entier, la relation P(x) = e Q(x) ] R(x) est alors une relation de divisibilité dans ] Z .

Supposons par exemple que deg Q = 1. Alors Q(0) est un diviseur de e P e (0) et Q(1) est un diviseur de e P e (1). Il faut supposer évidemment que P e (0) et P e (1) sont non nuls. Mais s’ils sont nuls il y a des diviseurs évidents. Comme l’ensemble des diviseurs d’un entier est fini, le diviseur Q considéré est dans un ensemble fini de polynomes d’interpolation basés sur 0 et 1 et de valeurs tous les couples de diviseurs possibles. On peut tester systématiquement tous les polynômes d’interpolation formés avec ces diviseurs.

Pour chercher un diviseur de degré 2, on considère les diviseurs de P e (−1), P e (0) et P(1) et ainsi de suite. e

1. Ici, n désigne un entier naturel n et U , V deux tableaux de n + 1 nombres indexés de 0 à n. Les U

sont deux à deux distincts.

Former une procédure dont l’appel interpoLag(n,U,V) renvoie un polynôme L de degré n en X développé et rangé suivant les puissance de X tel que L(U

) = V

pour i entre 0 et n. Ce polynôme est donné par la formule

L =

n

X

i=0

V

Y

j∈{0,1,···,n}\{i}

X − U

U

− U

2. Former une procedure ldiv(n) qui renvoie la liste des diviseurs (y compris négatifs) d’un entier désigné par n (utiliser mod). Bien veiller à ce que la procédure fonctionne pour des valeurs négatives du paramètre.

3. Former une procédure divKron1(P) qui renvoie un polynôme de degré 1 à coefficients entiers divisant P s’il en existe un et 0 s’il n’en existe pas.

4. Former des procédures divKron2(P) et divKron3(P) qui renvoient respecti- vement un polynôme de degré 2 ou de degré 3 à coefficients entiers divisant P s’il en existe un et 0 s’il n’en existe pas.

5. Factoriser en polynômes irréductibles de Z [X ] le polynôme P suivant : 15X

+ 49X

− 265X

− 620X

+ 706X

+ 834X

+ 6719X

− 11483X

− 1665X + 5950

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d’après Polynomials, V.V. Prasolov (Springer)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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Vérifier avec un expand ou la fonction Maple factor.

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