Montrer quef est diérentiable surRn\ {0}

Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques, L3, 2010-2011

Contrôle continu 1, mercredi 23 février .

Documents, calculatrices, téléphones portables interdits. Durée 2 heures. Les réponses non justiées ne sont pas comptabilisées.

Exercice 1 :

On considère l'application f :Rⁿ\ {0} →Rⁿ dénie parf(x) = x

||x||. 1. Montrer quef est diérentiable surRⁿ\ {0}.

2. Soitx∈Rⁿ\ {0}. Calculer la dérivée directionnelle def enxselon un vecteur colinéaire àx. L'application Dfx est-elle injective ?

3. CalculerDfx(h) pour tout pointx deRⁿ\ {0} et tout vecteurh de Rⁿ. 4. Pour tout xde Rⁿ\ {0} déterminerKerDfx puisImDfx.

Exercice 2 :

Soit U un ouvert d'un espace ane E d'espace vectoriel associé E, et f : U → F une application diérentiable surU. Fixons x∈U. Pourh∈E tel que x+h∈U on pose

∆_hf(x) =f(x+h)−f(x).

1. Soit x ∈ U et k ∈ E. En supposant k assez petit pour que [x, x+k] ⊂ U, exprimer

∆_kf(x) à l'aide de la diérentielleDf.

2. On suppose queDf est diérentiable enx. En utilisant (1), exprimer∆_h∆_kf(x)à l'aide de D²f(x) et du terme d'erreur qui intervient dans la dénition deD²f(x).

3. On prend maintenant h et k quelconques dans E. Déduire de la question précédente, par des majorations explicites, que

D²f(x)(h)(k) = lim

λ→0

1

λ²∆λh∆λkf(x),

et retrouver ainsi que (h, k)7→D²f(x)(h, k) est une forme bilinéaire symétrique.

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Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques, L3, 2010-2011

4. On considère l'application f :R² →Rdénie pour(x, y)6= (0,0)par f(x, y) =xy x²−y²

x²+y² etf(0,0) = 0.

(a) Montrer que l'application f est de classeC¹ surR². (b) Montrer que les dérivées partielles ∂f

∂x∂y(0,0)et ∂f

∂y∂x(0,0)existent. Que valent- elles ?

Exercice 3 :

SoitE un espace de Banach, L_C(E) l'espace de Banach des endomorphismes continus deE .

1. Montrer que l'application m : L_C(E) ×E → E dénie par m(u, v) = u(v) est une application bilinéaire continue.

2. Soit f : E → L_C(E) une application diérentiable et φ :E → E l'application dénie parφ(x) =f(x)(x). Montrer queφest diérentiable surE et calculerDφx(h)pour tout x deE et touth de E.

3. Dans le cas où E = R² et f est l'application qui à (x₁, x₂) ∈ E associe l'élément de L_C(E) dont la matrice par rapport à la base canonique deR² est

x1 −x₂ x₂ x₁

,calculer la dérivée de φ en utilisant la question précédente d'une part et en évaluant f(x)(x) d'autre part.

Exercice 4 :

On se place dans l'espace vectoriel E des applications continues sur l'intervalle [0; 1] à valeurs dans R muni de la norme ||.||_∞ dénie par ∀f ∈E, ||f||_∞ = sup_t∈[0;1]|f(t)|. On se donne une application φ:R→Rde classeC¹ surRet on considère l'applicationΨ :E→R dénie par

∀f ∈E, Ψ(f) = Z 1

0

φ◦f(t)dt

Montrer que l'application Ψest diérentiable surE et calculerDΨ_f en tout pointf de E.

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