La surfaceS est-elle une sous-variété deR3? 2

Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques, L3, 2010-2011

Contrôle continu 1, mercredi 23 février .

Documents, calculatrices, téléphones portables interdits. Durée 2 heures. Les réponses non justiées ne sont pas comptabilisées.

Exercice 1 :

Dans R³ on considère la surface S d'équation x² +y² −z² = 0 , le plan P d'équation x+y+z= 1 et la courbeC=P ∩S.

1. La surfaceS est-elle une sous-variété deR³? 2. La courbe C est-elle une sous-variété deR³?

3. Montrer que pour tout pointm₀ = (x₀, y₀, z₀)de C il existe un voisinageW de m₀, un intervalle I deR contenantx0 et des applications φ:I →Retψ:I →R de classeC¹ tels que

(m= (x, y, z)∈W ∩C) ⇐⇒ (x∈I et y=φ(x) et z=ψ(x)) Exprimerφ⁰(x0) etψ⁰(x0) en fonction dex0, y0, z0.

4. Pour tout m0 ∈C donner un vecteur directeur de la tangente à C en m0.

Exercice 2 :

On considère l'espace vectorielE des polynômes deR[X]dont le degré est au plus n. 1. On dénit l'application f :R×Rⁿ→E parf((s, x1, ..., xn)) =sQn

i=1(X−xi). CalculerD_sf etD_xif et montrer quef est de classe C¹ surR×Rⁿ.

2. Montrer que f est un diéomorphisme local en (s, x₁, ..., x_n) si et seulement si s n'est pas nul et lesx_i sont tous distincts.

3. On note A l'ensemble des polynômes de E ayant n racines distinctes réelles. Déduire des questions précédentes que Aest un ouvert de E.

4. Soit P₀ un polynôme de A. Montrer qu'il existe un ouvert Ω de A, une application c : Ω → R de classe C¹ et n applications ri : Ω → R de classe C¹ tels que pour tout polynômeP de Ω, on ait :

P =c(P)

n

Y

i=1

(X−ri(P))

1

Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques, L3, 2010-2011

Exercice 3 :

On appelle (p, q, x) les coordonnées dans R³ et on considère le sous-ensemble S de R³ d'équationx³+p x+q = 0.

1. Montrer queS est une sous-variété deR³ de dimension 2.

2. Déterminer l'ensembleC des points deS en lesquels le vecteur(0,0,1)est tangent à S. 3. Quel est l'ensemble des points de S au voisinage desquels S est localement le graphe

d'une fonction de (p, q) de classeC¹?

4. Montrer queCest une sous-variété deR³de dimension1. Soitm∈C, donner un vecteur tangent à C en m.

5. Notonsπla projection deR³surR²donnée parπ(p, q, x) = (p, q). Déterminer l'ensemble π(C). Est-ce une sous-variété de R³?

6. Tracer π(C).

Exercice 4 : On noteS la surface deR³ d'équationz²+ 1 =p

x²+y². 1. Montrer queS est une sous-variété deR³ de dimension 2.

2. On considère l'applicationh:R³→Rdénie parh(x, y, z) =y. La restriction deh àS admet-elle un minimum global ? un minimum local ?

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