L3 Licence MIV, BMM1 - Contrôle Continu n˚1
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Jeudi 22 mars 2007
On s’intéresse ici au modèle d’Anderson et May (1981)1, impliquant un hôte et un parasite, dont les équations sont les suivantes :
dS
dt = (a−b)S+ (ν+a1)I−βIS
dIi
dt =βIS−(b+m+ν−a2)I
les hôtes sains en densitéS(t)sont supposés se reproduire et mourir aux tauxaetb respectivement. Ils peuvent être infectés à un tauxβI par un parasite en densitéI.
Le terme de transmission global βIS repose sur l’hypothèse que la population est homogène et que le parasite n’existe pas à l’état libre (hors de son hôte). Une fois infecté, un hôte peut :
– guérir avec un tauxν,
– donner naissance à des individus sains avec un tauxa1, – transmettre le parasite à ses descendants avec un tauxa2, – mourir naturellement au tauxb,
– ou mourir de l’infection avec un tauxm.
Tous les paramètres sont strictement positifs.
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Justifier le fait qu’il s’agit bien d’un modèle de type hôte-parasite.
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Décrire la dynamique des hôtes sains en l’absence de parasites. Donner une interprétation biologique de la quantitéa−b.
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On poseρ=a−b,²=ν+a1, etδ=b+m+ν−a2. Réécrire le système. Quelle interprétation biologique donnez-vous à δ? On suppose dans la suite ρ, ², δ >0.
1Anderson R.M. et R.M. May. 1981. The Population Dynamics of Microparasites and Their Invertebrate Hosts.Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences,291(1054): 451-524.
1
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Représenter sous forme d’un diagramme à deux compartiments l’interaction entre individus sains et infectés. Notifier également sur votre schéma les naissances et les morts.
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Calculer l’équilibre non trivial du système dynamique. A quelle(s) condition(s) est-il réaliste biologiquement ?
6
Donner la matrice Jacobienne associée au système dynamique. En déduire la stabilité du point d’équilibre non trivial lorsqu’il est réaliste biologiquement. Il ne sera pas utile de rechercher la nature du point d’équilibre.
7
On se place sous l’hypothèseδ > ². Dans le plan (S, I), donner les équations et la représentation graphique des isoclines nulles horizontales et verticales, ainsi que le sens des vecteurs vitesse. Justifier toutes les étapes2.
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Sur le dessin initié précédemment, représenter les trajectoires pour les conditions initiales suivantes :
1. (S0, I0) = (0, I01)avecI01 grand ;
2. (S0, I0) = (S02, I02)avecS02=I02 petits ; 3. (S0, I0) = (S03, I03)avecS03 grand etI03 petit ; 4. (S0, I0) = (S04, I04)avecS04=I04 grands ;
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Représenter la chronique correspondant à la condition initiale 2. Pour cela, vous représenterez S(t)etI(t)en fonction du temps.
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On suppose que²= 0. Montrer l’existence de centres autour du point d’équilibre non trivial.
11 Question Bonus
Discuter des hypothèses biologiques sous-jacentes à ce modèle. Faites des pro- positions pour le rendre plus réaliste.
2On montrera que l’une des isoclines est une hyperbole passant par(0,0)dont les asymptotes sont les droites d’équationS=β² etI=βρ.
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