L3 Mécanique UCBL 2016–2017 Maths 5
Contrôle continu # 1
– le 12 octobre 2016. Durée 45 minutes. Documents et calculatrices interdits –
Exercice 1. (4 p.)Simplifier l’expression :
dx∧dz∧dy+ 3dz∧dy∧dx−dy∧dz∧dx+ 5dx∧dx∧dx−7dz∧dz∧dy.
Exercice 2. (8 p.) Soit C le carré (union de quatre segments) de sommets A(1,0), B(0,1), D(−1,0), E(0,−1), paramétré dans le sensA → B → D → E → A. Calculer l’intégrale
Z
C
ω, oùω = (x+y) (dx−dy)∈Ω1(R2).
Indication :Vous pouvez calculer l’intégrale directement ou – plus simplement – en utilisant la formule de Green-Rieman.
Bonus. (3 p.)Quelle est la valeur de Z
C
∗ω?
Exercice 3. (8 p.)Soitβ∈Ω3(R6)la 3-forme surR6donneé par la formule
β =dx1∧dx2∧dx3+ cos(x3)dx4∧dx5∧dx6.
1. (2 p.)Calculerd β. 2. (2 p.)Déterminerβ∧β.
3. (4 p.) Soit Φ : R3 → R6,(u, v, w) 7→ (uw, uw −1,exp(v), w3, uw, vw). Déterminer Φ]β ∈Ω3(R3).
Remarque pour la question 3. : Les coordonnées dansR6 sont(x1, . . . , x6), celles dans R3 sont(u, v, w). Ainsi on a, par exemple,Φ](x1) = uw,Φ](x2) =uw−1, etc.
1
