L2 - Contrôle continu 3 - Durée 1h30
mardi 5 janvier 2021 - documents, calculatrices, téléphones portables interdits
Le total des points est sur 23. Note finale: les 17 premiers points comptent en totalité, les suivants pour moitié. Barême donné à titre indicatif.
Exercice 1. (4 points) Questions de cours.
1. Pour quelles valeurs de2Rl'intégrale généraliséeZ
0 1dt
t est-elle convergente?
2. Pour quelles valeurs de 2Rl'intégrale généraliséeZ
1 +1dt
t est-elle convergente?
3. Soient < eta < bquatre réels. Soitf: ]; [[a; b]¡!R une fonction définie et continue sur]; [[a; b]. SoitF: ]; [¡!Rla fonction définie parF(x) =
Z
a b
f(x; t)dt.
a) Donner une condition suffisante (théorème du cours) pour queF soit dérivable sur]; [.
b) Quelle est alors l'expression de F0(x)donnée par ce théorème?
Exercice 2. (5 points) Soitf la fonction réelle définie surRpar f(t) =et¡cost¡t.
1. Donner le développement limité de f à l'ordre2en0.
2. En déduire un équivalent simple de la fonctionf en0.
3. Pour quelles valeurs du paramètre2R l'intégrale généraliséeI:=
Z
0
1et¡cost¡t
t dt est-elle convergente?
Exercice 3. (3,5 points) Soitf: [32;72]¡!Rla fonction définie parf(t) =E(t)(E(t)désigne la partie entière d'un réelt).
1. Donner le graphe de f et expliquer pourquoi la fonction f est en escalier (on précisera en particulier une subdivision associée àf).
2. CalculerJ:=
Z
3 2 7 2f(t)dt.
Exercice 4. (4,5 points)
1. Montrer que8t2R+; 1 1 + 9t p =1
3 1 pt¡
1 +"(t)avec limt!+1"(t) = 0.
2. Etudier la convergence de l'intégrale généraliséeK:=
Z
1 1 1
1 + 9t p sin¡1
t dt.
Exercice 5. (6 points) Soienta < bdeux réels. Soitf une fonction réelle positive définie et continue sur [a; b]. On poseM:=supt2[a;b]f(t).
1. Montrer que
8n2N,Z
a b¡
f(t)n
dt1/n
6(b¡a)1/nM :
2. Soit" >0. En utilisant que la fonction f atteint son maximum en un certain pointc2[a; b], montrer qu'il existe deux réels < appartenant à[a; b]tels que
8t2]; [; M¡"6f(t):
En déduire que
8n2N,(M¡")(¡)1/n6Z
a b¡
f(t)n
dt1/n
: 3. Montrer que lim
n!1
Z
a b¡
f(t)n
dt1/n
= sup
t2[a;b]
f(t).
