L3 – MIV Biologie Math´ematiques et Mod´elisation Contrˆole continu - Correction

L3 – MIV

Biologie Math´ematiques et Mod´elisation Contrˆ ole continu - Correction

02 mai 2006

Correction

A- Interpr´etation biologique du mod`ele.

1. αetβrepr´esentent des taux de contamination entre hommes et femmes : αest le taux de contami- nation des femmes saines par des hommes infect´ees, r´eciproquementβest le taux de contamination des hommes sains par des femmes infect´ees. λ et µ sont des taux de gu´erison, λ est le taux de gu´erison des femmes infect´ees etµle taux de gu´erison des hommes infect´es.

2. Dans un rapport potentiellement contaminant le risque d’infection est accru si c’est l’homme qui est infect´e. On peut donc affirmerα≥β.

3. Les femmes ont des symptˆomes moins s´ev`eres qui entraˆınent un d´elai plus important avant de recevoir des soins, on peut donc affirmerλ≤µ.

B- Analyse qualitative du mod`ele.

1. Isocline verticale : ˙x= 0⇔y=_{M α}^λ _1−x^x Isocline horizontale : ˙y= 0⇔x=_{F β}^µ _1−y^y .

2. Le point (x= 0, y= 0) v´erifie ˙x= 0 et ˙y= 0, c’est donc un point d’´equilibre du syst`eme.

1

L3 – MIV BMM1 – Contrˆole continu 30/03/2006

Le second point d’´equilibre (x^?, y^?) v´erifie ˙x= 0 et ˙y= 0. On calcule tout d’abord la valeur dex^?: y^? =_{M α}^λ _1−x^x?_?

x^?=_{F β}^µ _1−y^y??







⇒ x= _{M β}^µ

λ M α

x 1−x

1−_{M α}^λ _1−x^x

⇒ x^?= _{F β(λ+M α)}^{M αF β−λµ}

Par sym´etrie, on obtienty^?=_{M α(µ+F β)}^{F βM α−µλ}. Les conditions d’existence de ce point d’´equilibre dans le quadrant positif sont : M αF β > λµ.

3. La matrice jacobienne du syst`eme s’´ecrit :







−M αy−λ M α(1−x) F β(1−y) −F βx−µ







4. Au point d’´equilibre (0,0), la jacobienne s’´ecrit :

M_(0,0)=







−λ M α F β −µ







On a doncT r(M_(0,0)) =−λ−µetDet(M_(0,0)) =λµ−M αF β.

Siλµ−M αF β <0 (c’est le cas si (x^?, y^?) existe) alors (0,0) est un point selle.

Siλµ−M αF β >0 alors (0,0) est un point d’´equilibre (foyer, ´etoile ou nœud) stable.

5. Au point d’´equilibre (x^?, y^?), la matrice jacobienne du syst`eme s’´ecrit :

M_(x?,y^?)=







−^{(M α+λ)F β}_{F β+µ} ^{M α λ}_{(M α+λ)F β}^{(F β+µ)}

F β µ(M α+λ)

M α(F β+µ) −^{M α}_{M α+λ}^{(F β+µ)}







On a donc doncT r(M_(x?,y^?))<0 et Det(M_(x?,y^?)) =F βM α−λµ >0 si (x^?, y^?) existe. (x^?, y^?) est donc un point d’´equilibre stable (foyer, ´etoile ou nœud).

6. Les isoclines sont deux hyperboles dont les asymptotes figurent sur le graphique fourni. Elles se croisent aux deux points d’´equilibre (0,0) et (x^?, y^?).

L3 – MIV 2