L3 – MIV
Biologie Math´ematiques et Mod´elisation Contrˆ ole continu
02 mai 2006
Dur´ ee 1 h.
Ceci est une ´ epreuve individuelle. Les calculatrices et tous les documents personnels sont autoris´ es pendant l’´ epreuve.
Sans pr´ ejuger des sanctions prises ult´ erieurement par le conseil de discipline de l’Universit´ e, toute tentative de copie pendant l’´ epreuve sera sanctionn´ ee par la r´ epartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur et le copi´ e.
Vous r´ edigerez vos r´ eponse sur une copie s´ epar´ ee.
Bar` eme pr´ evisionnel
Question
A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 B6 Total
3 1 1 2 3 2 2 2 4 20
1
L3 – MIV BMM1 – Contrˆ ole continu 30/03/2006
Enonc´ ´ e
La gonorrh´ ee est une infection sexuellement transmissible caus´ ee par la bact´ erie Neisseria gonorrhoeae.
C’est une infection fr´ equente (on estime ` a 650 000 le nombre de nouveaux cas de gonorrh´ ee chaque ann´ ee aux ´ Etats Unis) qui, si elle n’est pas soign´ ee, peut entraˆıner la st´ erilit´ e des personnes atteintes. Les symptˆ omes de la maladie sont souvent moins importants chez les femmes que chez les hommes, on peut donc estimer que le d´ elai entre l’infection et le traitement est plus long chez les femmes. Par ailleurs, des
´
etudes ont montr´ e que lors d’un rapport sexuel potentiellement contaminant le risque de contamination est deux fois plus ´ elev´ e lorsque l’homme est infect´ e. Une fois soign´ e, il n’y a pas d’immunit´ e contre une nouvelle infection.
On propose le mod` ele suivant :
dF
sdt = −αF s M i + λF i dF
idt = αF s M i − λF i dM
sdt = −βM s F i + µM i dM
idt = βM s F i − µM i
o` u F s et F i (respectivement M s et M i ) sont les effectifs des femmes (respectivement des hommes) sains et infect´ es et α, λ, β et µ sont des param` etres positifs.
A- Interpr´ etation biologique du mod` ele.
1. Donnez une interpr´ etation des param` etres α, β, λ et µ.
2. Selon ce que vous avez lu de la gonorrh´ ee, que pouvez vous dire des valeurs relatives de α et β ? 3. Que pouvez vous dire des valeurs relatives de λ et µ ?
L3 – MIV 2
L3 – MIV BMM1 – Contrˆ ole continu 30/03/2006
On propose dans un premier temps de simplifier le mod` ele en faisant l’hypoth` ese que les effectifs totaux de femmes et d’hommes sont constants. On note F = F s + F i et M = M s + M i ces effectifs. Il suffit alors de suivre les effectifs des individus infect´ es. Le syst` eme devient :
dF
idt = α(F − F i )M i − λF i
dM
idt = β(M − M i )F i − µM i
(1)
Enfin, en posant x = F i F et y = M M
i, le syst` eme d’´ equation 1 devient :
dx
dt = M α(1 − x)y − λx
dy
dt = F β(1 − y)x − µy
(2)
x et y d´ esignent alors les proportions de femmes et d’hommes infect´ es par la maladie, on a donc 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.
B- Analyse qualitative du mod` ele. (Pour r´ epondre aux question qui suivent il sera utile d’utiliser la sym´ etrie des ´ equations du syst` eme 2.)
1. D´ eterminez les isoclines nulles (horizontales et verticales).
2. Montrez que l’origine (x = 0, y = 0) est un point d’´ equilibre du syst` eme. Trouvez un second point d’´ equilibre non trivial (x ? , y ? ) dont vous d´ eterminerez les conditions d’existence.
3. Calculez la matrice jacobienne du syst` eme.
4. D´ eterminez la nature et la stabilit´ e du point d’´ equilibre (0, 0).
5. Au point d’´ equilibre (x ? , y ? ), la matrice jacobienne du syst` eme s’´ ecrit :
− (M α+λ)F β F β+µ M α λ (M α+λ)F β (F β+µ)
F β µ (M α+λ)
M α (F β+µ) − M α M α+λ (F β+µ)
D´ eterminez la nature et la stabilit´ e du point d’´ equilibre (x ? , y ? ) (on se place dans le cas o` u ce point existe dans le quadrant positif).
6. Compl´ etez le portrait de phase sur la figure 1 en tra¸ cant les isoclines nulles, l’allure du champ de vecteurs et quelques parcours caract´ eristiques. (on se place dans le cas o` u le point d’´ equilibre (x ? , y ? ) existe dans le quadrant positif).
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L3 – MIV BMM1 – Contrˆ ole continu 30/03/2006
Num´ ero d’anonymat :
Figure 1: Portrait de Phase
1
1 0
0 x
y
−µ F β
−λ M α
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