Math´ematiques Contrˆole Continu N˚1 Gwenn PARENT TD N˚10

Universit´e Paris XII, Licence L2 2008-2009 Lundi 27 octobre 2008 1

Math´ematiques Contrˆole Continu N˚1

Gwenn PARENT

TD N˚10

Calculatrices, documents et formulaires sont interdits. Vous disposez d’une heure.

L’interrogation est not´ee sur 20 points.

ATTENTION... RETOURNEZ LA FEUILLE, SUITE AU VERSO ! ! ! ! !

Questions de cours : (3 points)

1. Donnez la d´efinition de la comatrice d’une matrice A.

2. Rappelez les r`egles `a respecter lors du calcul du d´eterminant d’une matrice par la m´ethode du pivot de Gauss.

QCM : (3 points)

Soit A et B deux matrices carr´ees de taille n.

Pr´ecisez si ces propositions sont vraies ou fausses, et corrigez les propositions fausses.

1. ^t(AB) = ^tA ^tB.

2. Le produit matriciel n’est pas commutatif.

3. (AB)⁻¹= _AB¹ .

4. Si A est inversible, alorsA⁻¹= _det(A)¹ com(A).

5. det(^tA) =−det(A).

6. det(λA) =λdet(A)

Exercice 1 : (4 points)

Trouver un nombre de trois chiffres sachant que : – La somme des chiffres est ´egale `a 14.

– En permutant le chiffre des unit´es avec celui des dizaines ce nombre augmente de 36.

– En permutant le chiffre des unit´es avec celui des centaines ce nombre augmente de 297.

1. Traduisez l’´enonc´e en langage math´ematique et explicitez le syst`eme lin´eaire correspondant.

2. R´esolvez ce syst`eme par la m´ethode du pivot de Gauss, et donnez le nombre initial `a trois chiffres.

3. Quelles autres m´ethodes connaissez-vous pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire ?

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Exercice 2 : (3 points)

Soit le syst`eme suivant :





x+ 2y−2z= 3 2x−y+ 2z= 2

−x+ 3y+z=−3

1. SoitAla matrice des coefficients de ce syst`eme etAesa matrice augment´ee.

Explicitez AetA.e

2. Le syst`eme a-t-il z´ero, une seule ou une infinit´e de solutions ?

Exercice 3 : (7 points)

On consid`ere la matrice suivante :

A=



 2 −3 4

1 1 −2

−2 2 −3





1. Calculer la matrice des cofacteurs (ou comatrice) deAet le d´eterminant deA.

2. En d´eduire que A est inversible et d´eterminer son inverse.

3. En d´eduire l’ensemble des solutions de chacun des syst`emes suivants :

(1)





2x−3y+ 4z = 0 x+y−2z = 0

−2x+ 2y−3z= 0

(2)





2x−3y+ 4z = 0 x+y−2z = 1

−2x+ 2y−3z= 2