L3 Math´ ematiques – M54 Probabilit´ es

UNIVERSIT´E de LILLE Sciences et Technologies 2015–2016

L3 Math´ ematiques – M54 Probabilit´ es

Responsable : S. De Bi`evre

Examen 11 janvier 2016 – 8h00-11h00 – Halles Gr´emeaux

Il est important de donner des arguments complets, bien r´ edig´ es.

L’UTILISATION DE DOCUMENTS OU DE CALCULATRICES EST INTERDITE PENDANT L’´ EPREUVE

Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif

I. [5 pts] Soit Ω un ensemble,F une tribu sur Ω, etP une probabilit´e surF. Les affirma- tions suivantes, sont-elles vraies ou fausses ? Ne pas oublier de bien justifier ses r´eponses : si l’affirmation est vraie, donner la preuve. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.

(i) [1 pt] Soit Y une variable al´eatoire r´eelle sur Ω. Alors P(Y = 0) = lim

n→+∞P(|Y| ≥ 1 n).

(ii) [1 pt] Soit X une variable al´eatoire r´eelle telle que X(ω) 6= 0 pour tout ω ∈ Ω. Si E(|X|)<∞ etE |_X¹|

<+∞, alorsE _X¹

= ¹

E(X).

(iii) [1 pt] SoitX une variable al´eatoire r´eelle. Alors E(X²)≥E(X)².

(iv) [2 pt] Une intersection d´enombrable d’´ev´enements de probabilit´e 1 est un ´ev´enement de probabilit´e 1.

II. [3 pts] Soient Y et (Yn)n∈N des variables al´eatoires sur un mˆeme espace de probabilit´e Ω.

(i) [1 pt] Donner la d´efinition de “La suite Y_n converge en probabilit´e versY.”

(ii) [2 pts] Soit (λ_n)n∈_N une suite de nombres r´eels positifs et soit, pour tout n, Y_n une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre λ_n. Montrer que Y_n converge en probabilit´e vers 0 si et seulement si λ_n tend vers l’infini.

III. [6 pts] (i) [1 pt] On pose, pour tout n ∈_N C_n=

Z +∞

0

tⁿexp(−t)dt.

Montrer que Cn=nCn−1 pour tout n≥1. En d´eduire que Cn=n!.

(ii) [2 pts] Soit a >0. Montrer que f_a(x) = 1

2a²|x|exp(−a|x|)

est une densit´e de probabilit´e sur _R. Tracer qualitativement f_a pour a = 1/2 et a = 2.

Indication.On peut remarquer quef_a est une fonction paire. Et calculer la d´eriv´ee def_a pour ´etablir que f_a a un unique maximum sur le demi-axe [0,+∞[, que l’on d´eterminera.

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(iii) [2 pts] SoitX_a une variable al´eatoire de densit´ef_a. Montrer queE(X_a) = 0. Calculer Var(X_a), la variance de X_a.

(iv) [2 pts] Comment se comporte la variance de X_a quanda tend vers +∞? Et quand a tend vers 0 ? Expliquer ces comportements en quelques mots en vous r´ef´erant au graphique sous (i).

IV. [5 pts] Soit X une variable al´eatoire positive sur un espace probabilis´e (Ω,F, P).

(i) [1 pt] ´Enoncer l’in´egalit´e de Markov.

(ii) [1 pt] Soit p≥1 et supposons que E(X^p)<+∞. Montrer que, pour tout t >0, P(X ≥t)≤ E(X^p)

t^p .

(iii) [1 pt] Soit C > 0 et consid´erons f(x) = C_(x2+1)^{1 2}1[0,+∞)(x). Montrer qu’il existe une valeur deC tel quef est une densit´e de probabilit´e. Il n’est pas demand´e de calculer cette constante.

(iv) [2 pt] Soit X une variable al´eatoire de densit´e f, donn´ee sous (iii). Montrer que, E(X^p)<+∞ si et seulement si 0≤p <3. En d´eduire que, pour tout 0≤α <3,

t^αP(X ≥t)≤t^α−pE(X^p), puis que

t→+∞lim t^αP(X≥t) = 0.

Indication. Il faudra intelligemment ajuster le choix de p `a la valeur de α, et utiliser ce qui pr´ec`ede.

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