L3 – MIV
Biologie Math´ematiques et Mod´elisation Contrˆ ole Continu 2
24 mai 2007
Dur´ee 1h30
Ceci est une ´epreuveindividuelle. Les calculatrices et tous les documentspersonnels sont autoris´es pendant l’´epreuve.
Sans pr´ejuger des sanctions prises ult´erieurement par le conseil de discipline de l’Universit´e, toute tentative de copie pendant l’´epreuve sera sanctionn´ee par la r´epartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur et le copi´e.
Vous r´edigerez vos r´eponse sur une copie s´epar´ee.
Bar`eme pr´evisionnel
Question
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total
1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 20
1
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Exercice 1
Mod`ele g´en´eral
On propose le mod`ele g´en´eral normalis´e suivant pour un syst`eme proies-pr´edateurs o`u la population de proies est aliment´ee `a taux constant par des migrants venus d’une population voisine. Les ´equations du mod`ele normalis´e sont les suivantes :
N˙ =N(N−1)
1−N K
+λ−N P P˙ =−P+µN P
1- Montrez qu’il existe deux isoclines horizontales (P˙ = 0) dont vous pr´eciserez les ´equations.
2- Montrez qu’il existe une seule isocline verticale (N˙ = 0). Vous donnerez l’´equation de cette isocline sous la formeP =f(N).
Pour la suite de l’exercice, on se place dans le cas o`uλ= 118 etK=113. Etude d’une fonction auxiliaire´
On s’int´eresse `a la fonctiony(x) d´efinie ci-dessous : y(x) = (x−1)
1− x K
+λ
x
= (x−1)
1− 3 11x
+ 8
11x
(1)
On donne la d´eriv´ee de la fonctiony :
y0(x) =−2(x−1)(x−2)(3x+ 2)
11x2 (2)
3- Donnez le tableau de variation de la fonction y sur R+∗. Pr´ecisez les limites de y en 0+ et +∞, et les valeurs dey `a ses extremums locaux. A partir du tableau de variation, conclure sur l’existence d’une solution uniquex∗0>0 v´erifianty(x∗0) = 0.
On donne pour la suitex∗0≈3,9.
Points d’´equilibre et portrait de phase.
Remarquez que le syst`eme ´etudi´e v´erifie
N˙ =N(y(N)−P) (3)
4- Compte-tenu de la question pr´ec´edente, repr´esentez sur le portrait de phase l’isocline verticale (N˙ = 0).
Vous porterez en abscisse le nombre de proiesN et en ordonn´ee le nombre de pr´edateursP.
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5- Montrez l’existence de deux points d’´equilibre du syst`eme not´es A0 : (N =N0∗, P = 0)et A1: (N = N1∗, P =P1∗). Vous donnerez une expression litt´erale pourN1∗, mais vous ne chercherez pas `a trouver les expressions deP1∗etN0∗. Donnez les conditions d’existence du pointA1 dans le quadrant positif. Portez sur le portrait de phase les isoclines horizontales ( ˙P = 0) dans le cas o`u 12 < µ <1, ainsi que les vecteurs vitesse.
Etude de la stabilit´´ e locale du point d’´equilibre A1
6- Donnez l’expression g´en´erale (en fonction de λ,µ,K,N etP) de la matrice Jacobienne du syst`eme.
(Utilisez l’expression 3 et donnez une expression faisant intervenir les fonctionsy ety0).
7- Montrez que la matrice Jacobienne du syst`eme au point d’´equilibre A1: (N=N1∗, P =P1∗) s’´ecrit
N1∗y0(N1∗) −N1∗ µP1∗ 0
8- Conclure sur les conditions de la stabilit´e du point d’´equilibreA1. (On ne s’int´eressera pas `a la nature exacte – foyer, noeud. . . – ni `a la caract´erisation ´eventuelle des centres).
9- Dans le cas o`u A1 existe et est instable, le th´eor`eme de Poincar´e-Bendixon peut-il s’appliquer ? Repr´esentez le cas ´ech´eant sur le portrait de phase une “boite” de Poincar´e-Bendixon permettant d’appliquer ce th´eor`eme. Que concluez-vous ?
10- Dans le cas ci-dessus, repr´esentez une trajectoire caract´eristique.
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Exercice 2
Pour un syst`eme dynamique mettant en jeux 5 esp`eces, on a d´etermin´e qu’il existe un point d’´equilibre o`u toutes les esp`eces coexistent. `A ce point d’´equilibre, la matrice de communaut´e est la suivante.
− − 0 0 0
+ 0 + − 0
0 − − 0 0
0 + 0 0 −
0 0 0 + 0
11- Dessinez le graphe de communaut´e correspondant.
12- Identifiez le rˆole (proies, pr´edateurs, super-pr´edateurs) des esp`eces de la communaut´e.
13- Les crit`eres qualitatifs de Quirk-Ruppert sont-ils respect´es ? 14- Si n´ecessaire, appliquez le test des couleurs. Que concluez-vous ?
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