Universit´e Paris XII, Licence L2 2008-2009 Lundi 27 octobre 2008 1
Math´ematiques Contrˆole Continu N˚1
Gwenn PARENT
TD N˚9
Calculatrices, documents et formulaires sont interdits. Vous disposez d’une heure.
L’interrogation est not´ee sur 20 points.
ATTENTION... RETOURNEZ LA FEUILLE, SUITE AU VERSO ! ! ! ! !
Questions de cours : (3 points)
1. Enoncez le th´eor`eme du rang.
2. Donnez la d´efinition du rang d’une matrice.
QCM : (2,5 points)
Soit A et B deux matrices carr´ees de taille n.
Pr´ecisez si ces propositions sont vraies ou fausses, et corrigez les propositions fausses.
1. rg(A) =n ⇐⇒ det(A) = 0.
2. det(AB) =det(A)det(B).
3. (AB)−1=A−1B−1.
4. Si det(A) = 0 alors A est inversible.
5. det(tA) =−det(A).
Exercice 1 : (4,5 points)
On dit que deux matrices carr´eesAetB commutent siAB=BA. On pose :A= µ1 1
0 1
¶
1. Montrez qu’une matrice B =
µx1 x2
x3 x4
¶
commute avec A si et seulement si ses coefficients x1, x2,x3 et x4sont solution d’un syst`eme lin´eaire que l’on explicitera.
2. R´esoudre ce syst`eme. En d´eduire l’ensemble des matrices qui commutent avecA.
3. Donnez un exemple de matrice 2×2 qui ne commute pas avecA.
4. La matrice A est-elle inversible ? Si oui, d´eterminezA−1.
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Exercice 2 : (5 points)
SoitA=
1 0 3
2 0 4
3 −1 1
1. Calculezdet(A). Quelle autre m´ethode que celle que vous avez utilis´ee connaissez-vous ? 2. Cette matrice est-elle inversible ?
3. D´eterminez A−1 par la m´ethode du pivot de Gauss.
Exercice 3 : (5 points)
SoitAe=
5 0 2 1
−3 2 0 1
7 0 3 1
la matrice augment´ee du syst`eme (1).
1. Ecrivez ce syst`eme lin´eaire.
2. Ce syst`eme est-il homog`ene ? Pourquoi ?
3. R´esolvez ce syst`eme par la m´ethode de votre choix.
