Math´ ematiques et calculs : Contrˆ ole continu n

Universit´ e Paris Descartes

UFR de Math´ ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P` eres, 75006, Paris.

Math´ ematiques et calculs : Contrˆ ole continu n

1 17 Octobre 2011

L1 : Licence sciences et technologies,

mention math´ ematiques, informatique et applications Nombre de page de l’´ enonc´ e : 1 . Dur´ ee 1h30.

Correction

Exercice 1

1) Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes

z

=

√ 6 − i √ 2

2 et z

= 1 − i.

2) En d´ eduire le module et l’argument de z = z

z

.

3) Utiliser les r´ esultats pr´ ec´ edents pour calculer cos(

) et sin(

).

Correction de l’exercice 1 : 1)

|z

| = √

2 et arg(z

) = − π 6 .

|z

| = √

2 et arg(z

) = − π 4 . 2)

|z| = |z

|

|z

| = 1 et arg(z) = arg(z

) − arg(z

) = π 12 . 3) On d´ etermine la forme alg´ ebrique de z = cos(

) + i sin(

). On trouve

z = (

√ 6 + √

2 4 ) + i(

√ 6 − √

2

4 )

D’o` u

cos( π 12 ) =

√ 6 + √ 2

4 et sin( π

12 ) =

√ 6 − √ 2

4 .

Exercice 2

D´ eterminer les racines carr´ ees complexes de z = −8 − 6i.

Correction de l’exercice 2 :

On cherche ω = x + iy tel que ω

= z. Ici 2xy = −6 donc x et y sont de signes contraires. Les deux racines sont ω

= 1 − i3 et ω

= −1 + i3.

Exercice 3 Soit z = p

2 − √ 2 + i p

2 + √ 2.

1) Calculer z

sous la forme alg´ ebrique puis sous forme exponentielle.

2) En d´ eduire la forme exponentielle de z.

3) En d´ eduire cos(

).

Correction de l’exercice 3 :

1

2

1) Les r´ eponses sont :

z

= −2 √

2 + i2 √ 2

z

= 4e

|z

| = 4 et arg(z

) = 3π 4 . 2) z est une racine carr´ ee de z

donc

z = 2e

ou z = −2e

. Comme cos(

) > 0 et Re(z) > 0, on en d´ eduit que

z = 2e

. 3)

cos( 3π

8 ) = Re(z)

|z| =

p 2 − √ 2

2 .

Exercice 4

Soit (u

) la suite d´ efinie par :





 u

= 0 u

=

r u

+ 4

3 , ∀n > 0 1) Montrer que pour tout n > 0, u

> 0.

2) Montrer que la suite (v

) d´ efinie par v

= u

− 2 est g´ eom´ etrique et pr´ eciser sa raison.

3) Calculer v

en fonction de v

. En d´ eduire la limite de (v

) puis celle de (u

).

Correction de l’exercice 4 :

1) On d´ emontre par r´ ecurrence la propri´ et´ e (P

) : u

> 0.

– Initialisation : u

= 0 > 0 donc (P

) est vraie.

– H´ er´ edit´ e : On suppose que (P

) est vraie pour un certain n > 0. Alors, u

=

r u

+ 4 3 est bien d´ efini puisque u

+ 4

3 > 0 d’apr` es l’hypoth` ese de r´ ecurrence. De plus u

> 0 car la fonction racine carr´ ee est positive.

Donc, par r´ ecurrence, pour tout n > 0, u

> 0.

2) On a

v

= u

− 2 = u

+ 4

3 − 2 = u

− 2

3 = 1

3 v

. Donc (v

) est une suite g´ eom´ etrique de raison

.

3) (v

) est une suite g´ eom´ etrique de raison

et v

= u

− 2 = −2 d’o` u v

= − 2

3

.

On en d´ eduit que (v

) tend vers 0, et donc que u

= v

+ 2 tend vers 2. Comme u

> 0, on a u

= p u

, d’o` u (u

) tend vers √

2 (par continuit´ e de la fonction racine carr´ ee. . .) . Exercice 5

Soit (u

) la suite d´ efinie par :

( u

= 1 u

= √

2u

, ∀n > 0 1) Montrer que pour tout n > 0, u

> 0.

2) Montrer que pour tout n > 0, u

6 2.

3) Montrer que (u

) est croissante (on pourra consid´ erer le quotient u

u

).

3

4) En d´ eduire que (u

) est convergente et d´ eterminer sa limite.

Correction de l’exercice 5 :

1) On d´ emontre par r´ ecurrence la propri´ et´ e (P

) : u

> 0.

– Initialisation : u

= 1 > 0 donc (P

) est vraie.

– H´ er´ edit´ e : On suppose que (P

) est vraie pour un certain n > 0. Alors u

= √

2u

> 0 donc (P

) est vraie.

Donc, par r´ ecurrence, pour tout n > 0, u

> 0.

2) On d´ emontre par r´ ecurrence la propri´ et´ e (P

) : u

6 2.

– Initialisation : u

= 1 6 2 donc (P

) est vraie.

– H´ er´ edit´ e : On suppose que (P

) est vraie pour un certain n > 0. Alors, 2u

6 4, et, comme la fonction racine carr´ ee est croissante,

u

= √

2u

6 √ 4 = 2, et donc (P

) est vraie.

Par r´ ecurrence, pour tout n > 0, u

6 2.

3) On peut consid´ erer le quotient

n

car pour tout n > 0, u

> 0 et en particulier u

6= 0. On a u

u

=

√ 2u

u

= r 2

u

. Or, d’apr` es la question 2), u

6 2, donc q

2

un

> 1. Ainsi, u

u

> 1 pour tout n > 0, ce qui montre que (u

) est croissante.

4) (u

) est croissante et major´ ee par 2, donc elle converge. Sa limite l v´ erifie l = √

2l ⇔ l

= 2l et l > 0 ⇔ l(l − 2l) = 0 et l > 0 ⇔ l = 0 ou l = 2.

Ainsi (u

) ne peut converger que vers 0 ou 2. Mais comme (u

) est croissante et u

= 1 > 0, (u

) ne

peut pas converger vers 0. En conclusion, (u

) converge vers l = 2.