Universit´e Paris-Descartes
UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres 75270 Paris cedex 06
Math´ ematiques et calculs : Contrˆ ole continu n
o1 18 Octobre 2010
L1 : Licence sciences et technologies,
mention math´ ematiques, informatique et applications Nombre de pages de l’´ enonc´ e : 2 . Dur´ ee 1h30.
Documents et calculatrices sont interdits.
L’usage des t´ el´ ephones portables est interdit dans les salles d’examen
NB :Ce sujet contient 4 exercices. Chaque r´esultat doit ˆetre d´emontr´e clairement. La question marqu´ee (*) est une question bonus.Exercice 1
Soitx un r´eel. Pour un entier naturel n, on consid`ere la somme Sn(x) = 1 + 2
n
X
k=1
cos(kx)
1. Calculer la somme Tn(x) =
n
X
k=0
eikx comme somme de termes cons´ecutifs d’une suite g´eom´etrique.
2. Exprimer Sn(x) `a l’aide de<(Tn(x)) 3. En d´eduire la valeur de Sn(x)
Exercice 2
On consid`ere les polynˆomesP(X) =X2−2X+ 2 etQ(X) =X4−2X2+ 2 1. Calculer les racines de P
2. Montrer que ces racines s’´ecrivent : {√
2 eiπ4 ; √ 2e−iπ4} 3. En d´eduire que celles deQ s’´ecrivent :
{21/4 eiπ8 ; 21/4e−iπ8 ; −21/4 eiπ8 ; −21/4e−iπ8 } 4. Ecrire les racines carr´ees de (1 +i) et de (1−i) sous forme alg´ebrique.
5. En d´eduire la valeur de cos(π 8)
6. (*) Ecrire une factorisation de Q(X) en polynˆomes du second degr´e, `a coefficients r´eels.
· · ·/· · ·
1
Exercice 3
Soit (un) la suite d´efinie pour tout n∈N parun= n+ 1 n2+ 1 1. Montrer que pour tout n∈N, 0≤un≤1
2. Montrer que la suite (un) est d´ecroissante.
3. En d´eduire que la suite (un) converge vers une limite l 4. Quelle est la valeur del?
Exercice 4
Soita≥0 et (un) la suite r´ecurrente d´efinie par :
u0 =a un+1= 1
4u2n+ 1 ∀n >0 1. Montrer que (un) est croissante.
2. Montrer que si (un) converge alors sa limite est 2.
3. On suppose a≤2. Montrer par r´ecurrence que, pour toutn≥0, un≤2.
En d´eduire que (un) est convergente.
4. On suppose a >2. Montrer que (un) diverge.
2
