Universit´e Paul Sabatier, L2 Physique, 2016/2017
Contrˆ ole Continu
Math´ ematiques pour la Physique
16 mars 2017, 10h00 - 11h00, ann´ee universitaire 2016-2017.
Dur´ee : 1 heure.
Remarques g´en´erales : Aucun document ´ecrit ni calculatrice ne sont admis. L’usage des t´el´ephones portables est interdit et ces t´el´ephones doivent ˆetre ´eteints et ne doivent pas ˆetre pos´es sur la table.
Toutes les r´eponses doivent ˆetre clairement justifi´ees et, lors de la correction, une attention particuli`ere sera prˆet´ee `a la qualit´e de la r´edaction.
Le sujet comporte deux pages et les exercices sont ind´ependants.
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1. Questions de cours
a) Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit L(E, F) l’ensemble des applications lin´eaires de E dans F. Soit ϕ∈ L(E, F). Donner la signification de “ϕ est injec- tive”.
b) Soit ϕ∈ L(E, F) avec E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que si l’application ϕ est injective alors l’image d’une famille libre de E est une famille libre deF.
∗ ∗ ∗ 2. Bases d’un espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel et soit (e1, e2, ..., en) une base deE. On d´efinit la famille de vecteurs (f1, f2, ...fn) de la mani`ere suivante:
fk=ek+ek+1 pour 1 ≤k≤n−1, fn=en
Montrer que la famille (f1, f2, ..., fn) est aussi une base de E.
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3. Applications lin´eaires et matrices
On consid`ere l’application lin´eaireϕ∈ L(R3,R3) et une base B= (e1, e2, e3) telles que:
ϕ(e1) = e1+e2+e3
ϕ(e2) = 2e1−e2+ 2e3
ϕ(e3) = 4e1+e2+ 4e3
a) Ecrivez la matrice A ∈ M3(R) qui repr´esente l’application lin´eaire ϕ dans la base B (qui est la base de d´epart et d’arriv´ee).
b) Quel est le rang de la matrice A? Justifier la r´eponse.
c) En d´eduire le rang deϕ puis la dimension de Ker(ϕ). Justifier la r´eponse.
d) Calculer ϕ(2e1+e2). En d´eduire une base de Ker(ϕ).
e) Donner une base de Im(ϕ).
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4. Produit scalaire
Soit < .|. > l’application de R2[X]×R2[X] dans R d´efinie par:
∀(P, Q)∈R2[X]×R2[X], < P|Q >=P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2)
a) Montrer que < .|. >est un produit scalaire.
b) Soit E ={P ∈R2[X]| P(0) = 0}. Montrer que la famille (X, X2) est une base de E. Est-elle orthonorm´ee relativement au produit scalaire < .|. >?
c) D´eterminer par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, une base or- thonorm´ee de E relativement au produit scalaire< .|. >.
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