Math´ ematiques et Calcul : Contrˆ ole continu n

Universit´ e Paris Descartes

UFR de Math´ ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P` eres, 75006, Paris.

Math´ ematiques et Calcul : Contrˆ ole continu n

2 21 Novembre 2011

L1 : Licence Sciences et Technologies,

mention Math´ ematiques, Informatique et Applications Nombre de pages de l’´ enonc´ e : 2 . Dur´ ee : 1h30.

NB : Ce sujet contient 5 exercices. Il n’est pas n´ ecessaire de le traiter enti` erement pour obtenir la note maximale. Chaque r´ esultat doit ˆ etre d´ emontr´ e clairement.

Tout document est interdit. Les calculatrices et les t´ el´ ephones portables, mˆ eme ` a titre d’horloge, sont ´ egalement interdits.

Exercice 1

D´ eterminer les limites suivantes : 1)

x→+∞

lim

x

+ 1 x

− 5x + 6

2)

x→+∞

lim

√

x + 1 − √ x − 2 3)

x→2

lim √

2x

+ 1 − √

x

+ x + 3 x

− 3x + 2

!

4)

x→3

lim

exp(x) − exp(3) x

− 4x + 3

Exercice 2

Soient deux r´ eels a et b. On d´ efinit la fonction f sur R

par f (x) =

(√ x si 0 6 x 6 1 ax

+ bx + 1 si x > 1

1) D´ eterminer pour quels r´ eels a et b la fonction f est continue sur R

. 2) Calculer la d´ eriv´ ee de f sur ]0, 1[ et sur ]1, +∞[.

3) D´ eterminer pour quels r´ eels a et b la fonction f est d´ erivable sur R

. Exercice 3

On consid` ere la fonction f : R → R

x 7→ 2 x − 2 + cos(x) .

1) Calculer f (0) et f (π). Que peut-on en d´ eduire pour l’´ equation f (x) = 0 ? 2) Calculer la d´ eriv´ ee de f . En d´ eduire que f r´ ealise une bijection de R dans R . 3) D´ emontrer que l’´ equation f (x) = 0 poss` ede une unique solution dans [0, π], not´ ee α.

4) Pour tout x ∈ R , on pose F (x) = (x + α − 2) (x − α) + sin(x) − sin(α). En ´ etudiant les variations de la fonction F, montrer que F > 0 sur R .

1

2

Exercice 4

Le but de l’exercice est d’´ etudier la bijection r´ eciproque de la fonction tangente hyperbolique : th : R → ] − 1, 1[

x →

1) Montrer que la fonction tangente hyperbolique est d´ erivable et strictement croissante. D´ eterminer ses limites en −∞ et +∞.

2) En d´ eduire que th r´ ealise une bijection de R dans ] − 1, 1[. On note Argth sa bijection r´ eciproque.

3) Montrer que pour tout x ∈ R , th

(x) = 1 − th

(x).

4) Calculer la d´ eriv´ ee de la fonction Argth.

Exercice 5

Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et d´ erivables sur ]a, b[.

On suppose que g

(x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.

1) Montrer que g(x) 6= g(a) pour tout x ∈]a, b].

Posons p =

et consid´ erons la fonction

h : [a, b] → R

x 7→ f (x) − pg(x) .

2) Montrer que h est continue sur [a, b], d´ erivable sur ]a, b[ et que h(a) = h(b).

3) En d´ eduire qu’il existe un nombre r´ eel c ∈]a, b[ tel que h

(c) = 0, puis que f (a) − f (b)

g(a) − g(b) = f

(c) g

(c) . 4) On suppose que lim

g⁰(x)

= l o` u l est un nombre r´ eel. Montrer que lim

x→b⁻

f(x) − f (b) g(x) − g(b) = l.

5) Application. Calculer la limite suivante : lim

x→1⁻

Arccos x

√ 1 − x

.