Contrˆ ole 2 de Math´ ematiques

I.N.S.A de TOULOUSE 8 janvier 2015 D´epartement STPI, 2`eme ann´ee IC

Contrˆ ole 2 de Math´ ematiques

Dur´ee 1h30

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Le barˆeme est indicatif.

Exercice 1 (sur 8 points)

On cherche les solutions g:R²→Rde classe C² de l’´equation

∂_xx² g(x, y)−4∂_yy² g(x, y) = 1, pour (x, y)∈R². (1) 1. On poseφ:R² →R² d´efinie parφ(x, y) = (2x+y,2x−y). Montrer queφest bijective

et de classeC^∞.

2. Soitf d´efinie par la relationf(u, v) =g(x, y), avecu= 2x+y, v = 2x−y.

Calculer∂xg(x, y) et ∂yg(x, y) `a l’aide des d´eriv´ees partielles de f.

3. Calculer∂_xx² g(x, y) et ∂_yy² g(x, y) `a l’aide des d´eriv´ees partielles d’ordre 2 de f.

4. D´eduire de la question pr´ec´edente quegv´erifie l’´equation (1) si et seulement sif v´erifie l’´equation

∂_uv² f(u, v) =α, o`uα est une constante dont on donnera la valeur.

5. Montrer que l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit

∂_uv² (f(u, v)−αuv) = 0.

6. En d´eduire l’expression des solutions de l’´equation (1) `a l’aide de deux fonctions arbi- trairespet q de classeC² d’une seule variable.

Exercice 2 (sur 3 points)

Soit la fonction d´efinie surR² par

f(x, y) = 3xy−x³−y³. 1. D´eterminer les points critiques de f.

2. Pr´eciser pour chaque point critique sif y admet un maximum local, un minimum local ou un point col (selle).

1

Exercice 3 (sur 4 points) Soit le domaine du plan

D=

(x, y)∈R² : x≥0, y≥0, x+y ≤1 , sur lequel on veut calculer l’int´egrale

I = Z

D

2

x+y+ q

(x+y)²+ 1

dxdy.

1. On poseu=x+y,v=x−y. D´eterminerxetyen fonction deu etv et en d´eduire que ces relations d´efinissent un changement de variable entre le domaine D et le domaine H=

(u, v)∈R²: 0≤u≤1, −u≤v≤u . 2. Repr´esenter graphiquement les domainesD etH.

3. Calculer alors l’int´egrale I ci-dessus. (On notera qu’une primitive de u√

u²+ 1 est donn´ee par ¹₃(u²+ 1)^3/2).

Exercice 4 (sur 5 points)

Soit la courbe d’´equations param´etriques

x(t) =e^tcos (t), y(t) =e^tsin (t), pour t∈R.

1. Calculer la longueur`<sub>0</sub> de la portion de courbe situ´ee entre les points correspondant aux valeurs du param`etre t= 0 ett=t0>0.

2. Calculer les vecteurs du rep`ere de Frenet T(t) et N(t). (Pour m´emoire, T(t) est le vecteur tangent unitaire orient´e dans le sens du param´etrage etN(t) le vecteur normal principal.)

3. Calculer la courbure κ(t) et les coordonn´ees du centre de courburec(t) en tout point (x(t), y(t)) de la courbe.

2