Contrˆ ole continu 2

Universit´e Ren´e Descartes - Paris 5 UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-Pres 75270 Paris cedex 06

Licence 1`ere ann´ee, 2010-2011,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)

Contrˆ ole continu 2

Exercice 1

Soitf la fonction d´efinie surRpar :

f(x) = x 1 +|x|

1) D´emontrer quef est born´ee surR. 2) Etudier la parit´e def.

3) Etudier la d´erivabilit´e def en 0.

4) D´emontrer quef d´efinit une bijection de Rsur ]−1; 1[.

Exercice 2

Le but de l’exercice est d’´etudier la bijection r´eciproque de la fonction tangente.

1) Montrer que la fonction tan :]−^π₂,^π₂[→Rest d´erivable et strictement croissante. D´eterminer ses limites en−^π₂ et ^π₂.

2) En d´eduire que tan r´ealise une bijection de ]−^π₂,^π₂[ dansR. On note arctan sa bijection r´eciproque.

3) Calculer la d´eriv´ee de la fonction arctan.

4) Montrer que, pour toutxnon nul, arctan(x) + arctan(_x¹) =

_π

2 six >0

−^π₂ six <0.

Exercice 3

1) Montrer que pour toutx >0, il existec∈]x, x+ 1[ tel que ln 1 +_x¹

=¹_c.

Indication : utiliser le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `a y7→ln(y) sur l’intervalle [x, x+ 1].

2) En d´eduire que pour toutx >0,

1 x+ 1 <ln

1 + 1

x

< 1 x 3) Montrer que les fonctionsfetgd´efinies surR^∗+parf(x) = 1 +¹_x^x

etg(x) = 1 +_x^11+x

sont monotones.

4) Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 0.

5) D´eterminer les limites en l’infini de ln(f) et ln(g), puis def etg.

Exercice 4

Soitf : [0,^π₂]−→Rla fonction d´efinie par :

f(x) =e^−x−sin(x).

1) Justifier par des op´erations ´el´ementaires sur les fonctions quef est d´erivable sur [0,^π₂], puis calculer sa d´eriv´ee. En d´eduire quef d´efinit une bijection de [0,^π₂] sur [e^−π2 −1,1].

2) Justifier qu’il existe un et un seulαdans ]0,^π₂[ tel quef(α) = 0.

On poseg(x) =x+1 2f(x).

3) Justifier quegest deux fois d´erivable sur [0,^π₂] et calculerg⁰ etg⁰⁰.

4) Montrer queg⁰ est croissante et positive, puis en d´eduire que pour toutx∈[0,^π₂],

|g⁰(x)|61−e^−π2 <1.

5) A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, d´eduire de la question 4) que pour toutxet y dans [0,^π₂] tels quex6=y,

|g(x)−g(y)|<|x−y|.

6) V´erifier queαest une solution de l’´equationg(x) =x, puis d´eduire de la question 5) que αest l’unique solution appartenant `a [0,^π₂] (Indication : on pourra raisonner par l’absurde).

Question bonus ) On consid`ere la suite (u_n)_n∈Nd´efinie par

u₀ = 1

u_n+1 = g(u_n)n∈N^∗. a) Calculeru₁et montrer que la suite (u_n) est d´ecroissante.

b) En d´eduire que (u_n) converge versα.

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