Universit´e Paris XII, Licence L2 2008-2009 Mardi 16 d´ecembre 2008 1
Math´ematiques Contrˆole Continu N˚3
Gwenn PARENT
TD N˚9 et 10
Calculatrices, documents et formulaires sont interdits. Vous disposez de 1h15.
L’interrogation est not´ee sur 20 points.
Exercice 1 : Suites r´ ecurrentes (9 points)
Soient les suites r´ecurrentes un,vn etwn d´efinies par le syst`eme suivant :
un+1 = un+ 3vn−3wn
vn+1 = 3vn−2wn
wn+1 = vn
1. PosonsZn=
un
vn
wn
. ExprimezZn+1 en fonction deZn.
2. Donnez l’expression deun,vn etwn en fonction de n,u0,v0 et w0. 3. SoitZ0=
1 1 0
, donnez l’expression deZn en fonction de n.
4. Y a-t-il z´ero, un ou plusieurs vecteurs d’´equilibre non nul ? Donnez l’ensemble solution si n´ecessaire.
Exercice 2 : Formes quadratiques (4 points)
Soit la forme quadratique suivante :
Q(x, y, z) = 4x2−y2+ 2z2−2xy+ 4xz
1. Trouvez la matrice associ´ee `a cette forme quadratique surR3, puis d´eterminez son signe.
2. Mˆeme question sur le sous-espacex+y= 0
Exercice 3 : Optimisation (7 points)
1. Optimisation libre : D´eterminer les points critiques et leur type pour la fonction suivante : f(x, y) =x4+x2−6xy+ 3y2
2. Optimisation sous contrainte : Soit la fonction d’utilit´e suivante : U(X, Y) =X2+ 2XY −2Y2
(a) Maximiser l’utilit´e de ce consommateur sous la contraite budg´etaire suivante : 2X+Y = 22.
(La m´ethode utilisant le Taux Marginal de Substitution est interdite ici).
(b) Interpr´etation : Indiquez combien valent les prix unitaires des biensX etY :pX,pY et le revenuR du consommateur dans cet exemple.
