Universit´e Paris 13, IUT de Saint-Denis Licence Pro MDQ – Math´ematiques appliqu´ees Ann´ee universitaire 2011-2012
Devoir ` a la maison
La qualit´e de la pr´esentation et de la r´edaction sera prise en compte.
Exercice 1. Soitθun nombre r´eel. On d´efinit la matrice A=
cos2θ sinθcosθ sinθcosθ sin2θ
.
1. Montrer queA2=A.
2. On poseI=I2∈ M2 (matrice identit´e). D´eduire de1que (A+I)2=I+ 3A.
Exercice 2. On consid`ere la matriceA=
1 2
3 4
−1 4
.
1. Quelle taille doit avoir une matriceB telle queBA=I2?
2. Trouver toutes les matricesB telles queBA=I2. On sera amen´e `a r´esoudre un syst`eme d’´equations, en suivant la m´ethode du pivot.
Exercice 3. On consid`ere les matrices A=
1 0 0 0 1 1 3 1 1
, B=
1 1 1 0 1 0 1 0 0
etC=
1 1 1
1 2 1
0 −1 −1
.
1. Montrer queAB=AC. La matriceA peut-elle ˆetre inversible ? 2. D´eterminer tous les vecteursX =
x y z
tels queAX=
0 0 0
, en utilisant la m´ethode du pivot.
Exercice 4. Soita∈R. R´esoudre le syst`eme
x+y+ 2z = −1
−3x−y+ 2z = 1 4x−2y−15z = a en fonction du param`etrea, en utilisant la m´ethode du pivot.
Exercice 5. D´eterminer l’inverse des matrices suivantes :
A=
1 1 −2 2 0 −2
−1 1 2
et B=
1 1 1 1
1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1
en utilisant la m´ethode du pivot.
Exercice 6.
1. SoitA∈ M3 une matrice telle queA3= 0. On noteI=I3 la matrice identit´e et on poseM =I−A.
Calculer (I−A)(I+A+A2) et en d´eduire queM est inversible et donner son inverse.
2. Soita∈R. On d´efinit les matrices A=
0 1 0
a 0 −a
0 1 0
et M =
1 −1 0
−a 1 a 0 −1 1
.
a) CalculerA2et A3.
b) A l’aide des questions pr´ec´edentes, montrer que` M est inversible et calculer son inverse.
