NOM : Pr´enom : Groupe :
Sup Galil´ee - Universit´e Paris 13 Lundi 24 novembre 2014
Contrˆole continu de Math´ematiques pour Ing´enieur Dur´ee1 heure. Sujet de3 exerciceset 4 pages.
Les documents, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1. Calculer a) lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
k
ne−2(kn)2. b)
Z 1
√x(1 +x)dx. c)
Z cosx
sinx+ 3dx. d)
Z
lnxdx.
1
Exercice 2. Soitf une fonction continue sur [0,2]. On cherche `a approcher
2
Z
0
f(x)dxpar la formule de quadrature num´erique suivante :
J(f) =2
3f(0) + 4 3f
3 2
.
D´eterminer les nœuds, les poids et l’ordre de cette m´ethode. Illustrer graphiquement cette m´ethode.
2
Exercice 3.
1. CalculerI=
7
Z
1
1 x2dx.
2. Trouver une approximation de l’int´egraleI en utilisant la m´ethode du point milieu.
3. Trouver une approximation de l’int´egraleIen utilisant la m´ethode du point milieu composite lorsque l’intervalle est subdivis´e en 3 sous-intervalles de m ˆme longueur. Commenter.
4. Rappelons que pourf ∈C2([a, b]) l’erreur de la m´ethode du point milieu composite avecmsubdivisions r´eguli`eres de taillehest donn´ee par la formule suivante :
E0,m(f) = (b−a)
24 h2f00(ξ), ξ∈]a, b[.
D´eterminer le nombre de subdivisions r´eguli`eres de l’intervalle [1,7] pour obtenir une approximation deI`a 10−4 pr`es en utilisant la m´ethode du point milieu composite.
3
