Math´ematiques pour Ing´enieur

Math´ ematiques pour Ing´ enieur

L. El Alaoui

email : elalaoui@math.univ-paris13.fr https://www.math.univ-paris13.fr/ elalaoui/PageMPI/MPI.html

bureau : D318

Institut Galil´ee – Universit´e Paris 13

Septembre 2016 – Janvier 2017

D´ eroulement

Enseignements

I 17 s´eances de cours magistraux de 1h30,

I 24 s´eances de travaux dirig´es de 1h30,

Contrˆole continu (interrogations en amphi et en td ) Deux partiels :

I lundi 24 octobre 2016,

I lundi 16 janvier 2017.

Note minimale : 09/20 !

Pr´esence obligatoire en Cours et Tds.

Plan du cours

1. Rappels

1. Suites, S´eries, D´eveloppement de Taylor 2. Fonctions de plusieurs variables, calcul d’extrema 2. Approximation de fonctions

2.1 Interpolation polynomiale 2.2 Interpolation par splines 3. R´esolution de syst`emes lin´eaires

3.1 Conditionnement

3.2 D´ecomposition Cholesky, LU

4. R´esolution num´erique d’´equations non lin´eaires 4.1 M´ethode de la dichotomie

4.2 M´ethode de point fixe 4.3 M´ethode de Newton

5. Int´egration et ´Equations diff´erentielles 5.1 M´ethodes d’approximation d’une int´egrale

5.2 M´ethode de r´esolution approch´es d’une ´equation diff´erentielle

R´ ef´ erences bibliographiques

Analyse :

I F. Monna et G. Monna, Suites et s´eries de fonctions - Exercices corrig´es avec rappels de cours, Broch´e.

I J-J. Colin, J-M. Morvan et R. Morvan,Fonctions usuelles : Exercices corrig´es avec rappels de cours, Broch´e.

I J-M. Monier,Cours de math´ematiques - Analyse PCSI-PTSI - Cours et exercices corrig´es,

I www.bibmath.fr (exercices corrig´es)

I les livres de l’auteur J-M. Morvan http ://www.amazon.fr/Jean-Marie-Morvan/e/B004N21TGU et plus g´en´eralement dans la collection cepadues (www.cepadues.com)

Analyse num´erique :

I A. Fortin, Analyse num´erique pour ing´enieurs, Broch´e.

I F. Filbet, Analyse num´erique - algorithme et ´etude math´ematique. Cours et exercices corrig´es, Dunod.

Pour aller plus loin . . .

I W. Rudin,Principes d’analyse math´ematique : cours et exercices, Dunod.

I M. Lefebvre,Equations diff´erentielles, Collection Param`etres .

I Allaire G. et Kaber S.M.,Alg`ebre lin´eaire num´erique : Cours et exercices, Ellipses.

I Demailly J-P.,Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles, Presses Universitaires de Grenoble.

I Quarteroni A., Sacco R. , Saleri F.,M´ethodes num´eriques pour le calcul scientifique : programmes en MATLAB, Springer.

1. Rappels 1.1 Suites r´eelles

O`u trouve-t-on des suites ? Approximation des nombres r´eels : Approcher des r´eels tels que√

2,πou de nombres d´efinis comme solution d’une ´equation (e^x=x−3). Le but est alors de trouver les ”meilleures” suites de r´eels, c’est-`a dire celles qui convergent le plus vite vers ces nombres ...

Description du comportement de ph´enom`enes dont l’´etat, `a un moment donn´e (mois, ann´ee), est repr´esent´e par un nombre r´eel.

”Un homme met un couple de lapins dans un lieu isol´e de tous les cˆot´es par un mur.

Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple `a compter du troisi`eme mois de son existence ? ”(Liber abaci, ouvrage de Leonardo Fibonacci ´ecrit en 1202)

Unesuitede nombre r´eels est une application deNdansR, (un) : N−→R

n−→un. D´efinition 1

suite arithm´etique de raisona:u0∈R,∀n∈N,un+1=un+aaveca,r∈R, suite g´eom´etrique de raisonr :u0∈R,∀n∈N,un+1=r unaveca∈R, suite puissance :un=n^αavecn≥1 etα∈R,

D’une suite donn´ee on peut prendre dans l’ordre certains de ses termes, on dit alors qu’on en extrait une sous-suite.

Soit Φ :N−→Nune application strictement croissante. On dit que (vn) estune suite extraite(ou une sous-suite) de (un) si pour toutn∈N,vn=uΦ(n).

D´efinition 2

Exemple :Φ(n) = 2n,vn=u2n; Φ(n) = 2ⁿ,vn=u2ⁿ.

i) Une suite (un) estmajor´eesi

∃M∈R,∀n≥0, un≤M.

ii) Une suite (un) estminor´eesi

∃m∈R,∀n≥0, un≥m.

iii) Une suite (un) estborn´eesi elle est major´ee et minor´ee, i.e.

∃M≥0,∀n≥0, |u_n| ≤M.

D´efinition 3

i) Une suite (un) estcroissante`a partir d’un certain rang si

∃N∈N,∀n≥N, un+1≥un.

ii) Une suite (un) estd´ecroissante`a partir d’un certain rang si

∃N∈N,∀n≥N, un+1≤un.

iii) Une suite (un) eststationnairesi `a partir d’un certain rang elle est constante.

∃N∈N,∀n≥N, un=uN.

iv) Une suite est(strictement) monotonesi elle est (strictement) croissante ou (strictement) d´ecroissante.

v) Une suite (un) estp´eriodique`a partir d’un certain rang si

∃N∈N,∃p∈N^∗,∀n≥N, un=un+p. D´efinition 4

Exemple.

un=E(_n+1⁴ ). La suite (un) est constante `a partir du rangn0= 4.

La suite des d´ecimales de ₉₀¹ est constante `a partir du rangn0= 2.

un=|n−5|. La suite (u_n) est croissante `a partir du rangn0= 5.

La suite des d´ecimales de ₂₄₇₅⁵³ est p´eriodique, de p´eriodep= 2 `a partir du rangn0= 3.

Les op´erations (addition, multiplication par un scalaire, multiplication, comparaison) sur les r´eels s’´etendent aux suites en des op´erations terme `a terme.

On dit que la suite (un) converge vers un r´eel`(sa limite) si tout intervalle ouvert contenant`, contient aussi tous lesunpournassez grand. Autrement dit, `a partir d’un certain rangunest proche de`.

On dit que (un)convergevers`∈Rsi

∀ >0,∃N(),∀n≥N(), |un−`|< . On noteun→`ou lim

n→+∞un=`ou lim

n un=`.

Le r´eel`s’appellelimitede la suite.

D´efinition 5

Exemple.un= 1 +sin(n) n . La suite (un) converge vers`= 1 :

|un−`| ≤

sin(n) n

≤1 n.

Figure:Les 50 premiers termes de la suite (u_n).

La suite (un)tend vers +∞si

∀A>0, ∃n₀∈N,∀n≥n0, un>A.

La suite (un)tend vers−∞si

∀A>0,∃n₀∈N,∀n≥n0, un<−A.

On note lim

n→+∞un= +∞ouun−→+∞(resp. lim

n→+∞un=−∞ouun−→−∞) D´efinition 6

Exemple.

Suite arithm´etique :un=u0+an.

I Sia>0, (u_n) tend vers +∞.

I Sia= 0, (u_n) est constante.

I Sia<0, (u_n) tend vers

−∞.

Suite g´eom´etrique :un=u0rⁿ.

I Siu0= 0, (un) est constante.

I Sir≤ −1, etu06= 0, (un) ne converge pas.

I Si−1<r<1, (un) tend vers 0.

I Sir= 1, (un) est constante.

I Sir>1 etu0>0, (un) tend vers +∞.

I Sir>1 etu0<0, (un) tend vers−∞.

Suite de Riemannu_n=n^α.

I Siα >0, (u_n) tend vers +∞.

I Siα= 0, (u_n) est constante (tend vers 1).

I Siα <0, (u_n) tend vers 0.

Si (un) est une suite convergente, alors sa limite est unique.

Toute suite convergente est born´ee.

Une suite major´ee et croissante est convergente.

Une suite minor´ee et d´ecroissante est convergente.

Une suite croissante non major´ee tend vers +∞.

Proposition 1

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de limite respective`et`⁰. i) ∀λ, µ∈R,lim

n (λun+µvn) =λ`+µ`⁰, ii) lim

n (unvn) =``⁰,

iii) si pour toutn,un6= 0 etx6= 0,zn= 1 un

alors lim

n zn=1

`, iv) lim

n |un|=|`|,

v) si`6= 0,unest du signe de``a partir d’un certain rang, Propri´et´es

Point fixe

Soient (un) une suite convergente d’´el´ements d’un intervalleI de Rdont la limite ` appartient `aI, etφune fonction continue en`. Alors la suite (φ(un)) est convergente et a pour limiteφ(`).

Th´eor`eme 1

On d´eduit de ce th´eor`eme que si une suite v´erifiant la relation de r´ecurrenceun+1=φ(un) est convergente et a pour limite`et si estφest continue en`, on a alors :`=φ(`).

Un tel point`est ditpoint fixedeφ.

D´efinition 7

Remarque.

Si la fonction continue n’a pas de point fixe alors une suite, qui v´erifie la relation un+1=φ(un), ne peut avoir de limite ;

en revanche siφa un point fixe cela n’entraˆıne pas que la suite admette ce point comme limite.

Un point fixe, de coordonn´ees (`, `), est le point d’intersection du graphe deφet de la premi`ere bissectrice.

Comparaison de suites

Soient (un) et (vn) deux suites de r´eels convergentes.

Si pour toutn∈N,un≤vn, alors : lim

n un≤lim

n vn.

Soitvntendant vers 0. Si pour toutn∈N,|un| ≤ |vn|, alors (un) tend vers 0.

Proposition 2

Soient (un), (vn) et (wn) trois suites de r´eels telles que (un) et (wn) convergent vers la mˆeme limite`, et pour toutn∈N,un≤vn≤wn. Alors (vn) converge vers`.

Corollaire 1

Exemple.un=n+ (−1)ⁿ n+ 2 , lim

n un= 1.

Soient (un) et (vn) deux suites de r´eels telles que pour toutn∈N,un≤vn. Siuntend vers +∞alorsvntend vers +∞.

Sivntend vers−∞alorsuntend vers−∞.

Proposition 3

Soient (un) et (vn) deux suites de r´eels.

On dit que la suite (un) estdomin´eepar la suite (vn) si :

∃M∈R,∀n∈N,|un| ≤M|vn|.

On ´ecritun=O(vn), qui se lit”unest un grandOdevn”.

On dit que la suite (un) estn´egligeabledevant la suite (vn) si :

∀ε >0, ∃n0,∀n≥n0,|un| ≤ε|vn|.

On ´ecritun=o(vn), qui se lit”unest un petito devn”.

On dit que la suite (un) est´equivalente`a la suite (vn) si :

∀ε >0, ∃n₀,∀n≥n0,|un−vn| ≤ε|vn|.

On ´ecritun∼vn, qui se lit”unest ´equivalent `avn”.

D´efinition 8

Soient (un) et (vn) deux suites de r´eels et on suppose que lesvnsont tous non nuls.

La suite (un) est domin´ee par (vn) si et seulement si la suite (un

vn

) est born´ee.

La suite (un) est n´egligeable devant (vn) si la suite (un

vn

) converge vers 0.

Les suites (un) et (vn) sont dites ´equivalentes si la suite (un

vn

) tend vers 1.

Proposition 4

Exemple.

p4n²+ 1 =O(n), p

4n²+ 1 =o(n²), p

4n²+ 1∼2n.

Soient (un),(vn),(u⁰_n),(v_n⁰) des suites de r´eels.

i) un∼vnest une relation d’´equivalence dans l’ensemble des suites r´eelles.

ii) Siun∼vnetvnest convergente, alorsunest convergente et limnun= limnvn. iii) Siun∼vnetvnest ne converge pas, alorsunest ne converge pas.

iv) Siun∼vn, alorsun−vn=o(un) =o(vn).

v) Siun∼vnetu_n⁰ ∼v_n⁰, alorsunu_n⁰∼vnv_n⁰et un

u_n⁰ ∼ vn

v_n⁰ siu⁰_n6= 0 etv_n⁰6= 0.

vi) Siun=o(vn) alorsun+vn∼zn. Proposition 5

Attention ! En g´en´eral,un∼u⁰_netvn∼v_n⁰ n’implique pasun+vn∼u⁰_n+v_n⁰. Exemple.un=

√

n²+n+ 1

√3

8n³+n² , lim

n un=1 2.

un=n+ (−1)ⁿ,vn=−n+ (−1)ⁿ, maisun+vnn’est pas ´equivalent `a 0 !

Vitesse de convergence

Soit (un) une suite de r´eels convergeant vers un r´eel `. Si la suite (|un+1−`|

|un−`| ) est convergente de limiteλ, on dit que la convergence de la suite (un) vers`est :

lente, lorsqueλ= 1,

g´eom´etrique de rapportλ, lorsqueλ∈]0,1[, rapide, lorsqueλ= 0.

Le r´eelλ, lorsque qu’il existe, est appel´ecoefficient de convergencede la suite.

D´efinition 9

Remarque.Si la suite (|u_n+1−`|

un−` ) converge, sa limiteλest n´ecessairement dans [0,1].

Exemple.un= 1

n^b,b>0. La suite (un) converge lentement.

un=aⁿ,0<a<1. La suite (un) converge g´eom´etriquement de rapporta.

1.2 S´eries num´eriques

Paradoxe de Zenon d’El´ee : Achille ne rattrape jamais la tortue apr`es laquelle il court ! Supposons qu’Achille et la tortue courrent le long d’une ligne droite, Achille avan¸cant `a 10m.s⁻¹, la tortue `a 1m.s⁻¹et la tortue partant avec 100m d’avance.

Le temps (en seconde) n´ecessaire est : 10 + 1 + 1

10+ 1 100+ 1

1000+· · ·

Il s’agit d’une somme comportant une infinit´e de termes ... qui vaut un nombre fini ! les s´eries r´eelles permettent de construire des nombres commeequi ne sont ni rationnels ni mˆeme alg´ebriques et d’en calculer des valeurs approch´ees.

Les s´eries de fonctions conduisent `a d´efinir de nouvelles fonctions. Les s´eries enti`eres et les s´eries de Fourier, en particulier.

Soit (un) une suite de nombres r´eels. On associe `a cette suite la suite (Sn) d´efinie par Sn=

n

X

k=0

uk.

La suite (Sn) s’appelle las´erie de terme g´en´eralunetSnest appel´ee lasomme partielle d’ordrende la s´erie.

On notera simplement (P

un) cette suite.

D´efinition 10

La s´erie (P

un) converge si la suite (Sn) converge et diverge sinon. Si la s´erie converge alorss= lim

n Snest appel´ee lasommede la s´erie et on notes=

+∞

X

n=0

un. Soit (P

un) une s´erie convergente de sommes. On appellele reste d’ordre nde la s´erie (P

un),Rn=s−Sn. D´efinition 11

Remarque :La suite peut-ˆetre d´efinie pourn≥1, auquel cas on utilisera le mˆeme vocabulaire.

La s´erie de terme g´en´eralun=xⁿest appel´ees´erie g´eom´etrique de raisonx.

D´efinition 12

Si|x| ≥1, la s´erie g´eom´etriqueP

xⁿdiverge.

Si|x|<1, la s´erie g´eom´etriqueP

xⁿconverge et sa somme vaut _1−x¹ . Pour toutx∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x. Proposition 6

Soient (un) et (vn) deux suites r´eelles telles que les s´eriesP unetP

vnsont convergentes.

Alors la s´erieP

(un+vn) est convergente et X(un+vn) =X

un+X vn. Proposition 7(Lin´earit´e)

La s´erie (P

un) est convergente si et seulement si elle v´erifie le crit`ere de Cauchy

∀ >0, ∃N∈N,∀m≥n≥N,

m

X

k=n

uk

< . Th´eor`eme 2(Crit`ere de Cauchy.)

Si (P

un) converge alors lim

n un= 0.

Corollaire 2

Remarque :La r´eciproque est fausse.

Si le terme g´en´eralunne tend pas vers 0 on dit que la s´erie (P

un) diverge grossi`erement.

D´efinition 13

Soient (P

un) et (P

vn) deux s´eries.

i) Si `a partir d’un certain rang,|un| ≤vnet si la s´erie (P

vn) est convergente, alors la s´erie (P

un) est convergente.

ii) Si `a partir d’un certain rang, 0≤vn≤un et si la s´erie (P

vn) est divergente, alors la s´erie (P

un) est divergente.

Th´eor`eme 3(de comparaison.)

Soient (P

un) et (P

vn) deux s´eries de terme g´en´eralpositif. Alors sivn=O(un) et si (P

un) converge alors (P

vn) converge.

En particulier, siun∼vnles s´eries (P

un) et (P

vn) sont de mˆeme nature.

Proposition 8

R`egles de Cauchy, de d’Alembert, d’Abel et des s´eries altern´ees

Soit (P

un) une s´erie de terme g´en´eralun positif. S’il existel <1 tel qu’`a partir d’un certain rang√ⁿ

un≤lalors la s´erie (P

un) converge.

En particulier si limn ⁿ

√un=lalors sil<1 la s´erie converge,

sil>1 la s´erie diverge grossi`erement, sil= 1, le crit`ere ne permet pas de conclure.

Th´eor`eme 4(R`egle de Cauchy.)

Soit (P

un) une s´erie de terme g´en´eralunpositif. S’il existe l<1 tel qu’`a partir d’un certain rang un+1

un

≤l alors (P

un) converge.

l≥1 tel qu’`a partir d’un certain rang un+1

un

≥l alors (P

un) diverge.

En particulier, si lim

n

un+1

un

=let sil<1, alors (P

un) converge, sil>1, alors (P

un) diverge,

sil= 1, le crit`ere ne permet pas de conclure.

Th´eor`eme 5(R`egle de d’Alembert.)

Siun=αnvnest le terme g´en´eral d’une s´erie tel que :

∃M∈R,∀n∈N, |

n

X

k=0

αk| ≤M, si la suite (vn) est positive d´ecroissante, si lim

n vn= 0, alors la s´erie (P

αnvn) converge.

Th´eor`eme 6(R`egle d’Abel.)

Soit (vn) une suite d´ecroissante vers 0, alors la s´erie (P

(−1)ⁿvn) converge.

Corollaire 3(Crit`ere des s´eries altern´ees.)

La s´erie (P

un) estabsolument convergentesi la s´erie (P|un|) est convergente.

Une s´erie convergente qui ne converge pas absolument est ditesemi-convergente.

D´efinition 14

Exemple : Les s´eries de terme g´en´eral ⁽⁻¹⁾ⁿ

n² et ^cosn

n√

n sont absolument convergentes.

La s´erie, dite de Riemann, (P 1

n^p) converge si et seulement sip>1.

La s´erie, dite de Bertrand, (P ₁

n(lnn)^p) converge si et seulement sip>1.

Proposition 9(S´eries de Riemann et de Bertrand.)

Soient (P

un) et (P

vn) deux s´eries. On appelles´erie produitla s´erie de terme g´en´eral cn=

n

X

k=0

ubvn−kavecn≥0.

D´efinition 15(Produit de deux s´eries)

Si (P

un) et (P

vn) sont deux s´eries convergentes de somme respectiveA etB et si au moins l’une des deux s´eries est absolument convergente alors la s´erie produit (P

cn) converge versC=AB.

Si les deux s´eries sont absolument convergentes, alors la s´erie (P

cn) est absolument convergente.

Th´eor`eme 7

1.3 S´eries enti`eres

Le domaine d’application des s´eries enti`ere est tr`es vaste : Calcul num´erique d’int´egrales,

Calcul approch´e de valeurs num´eriques de certaines fonctions (exponentielle, logarithme, ...) R´esolution de certaines ´equations diff´erentielles,

· · ·

Unes´erie enti`ere(complexe ou r´eelle) est une s´erie dont le terme g´en´eral est de la forme anzⁿ.

a0,a1,· · ·an,· · · (complexes ou r´eels) sont appel´es coefficients de la s´erie etz est une variable complex ou r´eelle.

D´efinition 16

La convergence d’une s´erie enti`ere d´epend de la variablez.

SoitP

anzⁿ une s´erie enti`ere complexe ou r´eelle. On appellerayon de convergencede la s´erie enti`ere, la quantit´eR∈R⁺∪ {+∞}telle que

si|z|<Ralors (P

anzⁿ) converge absolument, si|x|>R alors (P

anxⁿ) diverge.

SiR > 0, l’ensemble ouvertD = {z ∈ C,|z|< R},({x ∈ R,|x|<R}) s’appelle le disque de convergence(intervalle ouvert de convergence).

D´efinition 17

Soit (P

anxⁿ) est une s´erie enti`ere.

S’il existeλ= lim

n

√n

analorsR=_λ¹. S’il existeλ= lim

n |an+1

an

|alorsR=_λ¹. Th´eor`eme 8

D´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction

SoientI ⊂R,f : I →Retx0dansI. On dit quef estd´eveloppable en s´erie enti`ere enx0s’il existe une s´erie enti`ereP

anxnde rayon de convergenceR>0 et un voisinage dex0,V(x₀) tels que

∀x∈ I ∩ V(x0), f(x) =

∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ. D´efinition 18

Une fonctionf d´efinie au voisinage dex0∈Rest d´eveloppable en s´erie enti`ere enx0si, et seulement si, la fonctionw→f(x0+w) est d´eveloppable en s´erie enti`ere `a l’origine.

Proposition 10

Autrement dit, tout probl`eme de d´eveloppement en s´erie enti`ere se ram`ene `a un probl`eme de d´eveloppement en s´erie enti`ere `a l’origine.

D´erivation et int´egration terme `a terme

SoitP

an(x−x0)ⁿune s´erie enti`ere de rayon de convergenceR>0. Alors la fonction f(x) =a0+a1(x−x0) +a2(x−x0)²+a3(x−x0)³+· · ·=

∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ,

est d´erivable sur l’intervalle ]x0−R,x0+R[ et i) f⁰(x) =a1+ 2a2(x−x0) + 3a3(x−x0)²+· · ·=

∞

X

n=1

nan(x−x0)ⁿ⁻¹,

ii) Z

f(x)dx=C+a0(x−x₀)+a1

(x−x0)² 2 +a2

(x−x0)³

3 · · ·=C+

∞

X

n=0

an

(x−x0)ⁿ⁺¹ n+ 1 . Le rayon de convergence des s´eries d´efinies eni) etii) estR.

Proposition 11

Sif est une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere enx0, i.e.

f(x) =

∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ, |x−x0|<R, alors

i) f est de classeC^∞au voisinage dex0, ii) les coefficients sont donn´es par

an=f⁽ⁿ⁾(x0) n! .

Ce d´eveloppement est unique et est appel´es´erie de Taylordef enx0. Proposition 12

Remarque.Attention ! Il existe des fonctions de classeC^∞au voisinage dex0qui ne sont pas d´eveloppables en s´erie enti`ere enx0.

Si une fonctionf est d´eveloppable en s´erie enti`ere enx0, alors il en est de mˆeme de toutes ses d´eriv´ees et de toutes ses primitives.

Proposition 13

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I contenant un point a, d´erivable n−1 fois surI, et dont la d´eriv´een-i`eme enaexiste. On appellepolynˆome de Taylor d’ordrenenadef, le polynˆome :

Pn(x) =f(a) +f⁰(a)

1! (x−a) +f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(a) n! (x−a)ⁿ. On appellereste de Taylor d’ordrenenadef, la fonctionRnqui `ax∈ Iassocie :

Rn(x) =f(x)−Pn(x).

D´efinition 19

Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹ sur un intervalleI, telle que|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤M pour

|x−a| ≤δ. Alors le reste de Taylor d’ordrendef enasatisfait

|R_n(x)| ≤ M

(n+ 1)!|x−a|ⁿ⁺¹, pour|x−a| ≤δ.

Proposition 14(In´egalit´e de Taylor)

Soitf une fonction de classeCⁿ⁻¹sur [a,b], dont la d´eriv´ee (n−1)i`eme est d´erivable. Il existec∈]a,b[ tel que le reste de Taylor d’ordrendef enasatisfait

Rn(c) = (b−a)ⁿf⁽ⁿ⁾(c) n!

Proposition 15(Taylor Lagrange)

SoitIun intervalle ouvert contenant 0. Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹surI. Alors le reste de Taylor d’ordrendef enasatisfait

Rn(x) = Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Proposition 16(Taylor avec reste int´egral)

D´eveloppements limit´es (DL) Les DL sont un outil permettant de :

calculer des limites,

´

etudier localement une courbe.

SoientIun intervalle ouvert, aun point deI. On dit quef admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenenalorsqu’il existe un polynˆomePn, de degr´e inf’erieur ou ´egal `an, tel que le reste soit n´egligeable devant (x−a)ⁿ,i.e :

Rn(x) =f(x)−Pn(x) =o((x−a)ⁿ),quandx→a.

D´efinition 20

SoientIun intervalle ouvert deR,aun point deI. Soitf une fonction d´efinie surI. Soit g la fonction qui `ahassocieg(h) =f(a+h). La fonctionf admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenena, si et seulement sigadmet un d´eveloppement limit´e d’ordrenen 0.

f(x) =Pn(x) +o((x−a)ⁿ) ⇐⇒ g(h) =f(a+h) =Pn(a+h) +o(hⁿ).

Proposition 17

Un d´eveloppement limit´e, s’il existe, est unique Proposition 18

SoientIun intervalle ouvert contenantx0. Soitf une fonction d´erivablen−1 fois sur I, et dont la d´eriv´een-i`eme enx0existe. Alors,

Rn(x) =o((x−x0)ⁿ),quandx→x0. Th´eor`eme 9(Taylor-Young)

• La fonctionf admet le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 0 enx0: f(x) =a0+o(1),

si et seulement sif est continue enx0etf(x0) =a0.

• La fonctionf admet le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 enx0: f(x) =a0+a1(x−x0) +o((x−x0)), si et seulement sif est d´erivable enx0etf(x0) =a0,f⁰(x0) =a1.

Pour tous les ordres sup´erieurs, il n’y a pas d’´equivalence de cette forme. Par exemple f(x) =x³cos(1/x) n’admet pas de d´eriv´ees seconde en 0.

Proposition 19

exp(x) = 1 +x+x² 2 +x³

3!+· · ·+xⁿ n!+o(xⁿ), ln(1 +x) = x−x²

2 +x³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ n +o(xⁿ), cosx = 1−x²

2!+x⁴

4!+· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+o(x²ⁿ), sinx = x−x³

3!+x⁵

5!+· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!+o(x²ⁿ⁺¹), (1 +x)^α = 1 +αx+α(α−1)

2! x²+· · ·+α(α−1)· · ·(α−(n+ 1))

n! xⁿ+o(xⁿ), α∈R^?. Proposition 20(D´eveloppement limit´es des fonctions usuelles)

Soientf,gdeux fonctions d´efinies au voisinage d’un pointx. Sif etgadmettent chacune un d´eveloppement limit´e d’ordrenvoisinage dex0:

f(x) = a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ), g(x) = b0+b1(x−x0) +· · ·+bn+ (x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ).

Alorsλf,f+g, etfgadmettent des d´eveloppement limit´es du mˆeme ordre qui s’´ecrivent λf(x) = (λa0) + (λa1)(x−x0) +· · ·+ (λan)(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ),

(f+g)(x) = (a0+b0) + (a1+b1)(x−x0) +· · ·+ (an+bn)(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ) (fg)(x) = (a0b0) + (a0b1+a1b0)(x−x0) +· · ·+ (a0bn+a1bn−1

+· · ·+anb0)(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ).

Proposition 21(Op´erations sur les d´eveloppement limit´es)

Remarque.La partie polynomiale du DL de la fonctionf g s’obtient en ne gardant que les termes de degr´e inf´erieur ou ´egal `andans le produit des partie polynomiale des DL def etg.

Soient f : I −→ J et g : J −→ R deux fonctions. Supposons que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordrepau voisinage du pointx0∈ I. Sig admet un DL d’ordre pauvoisinage dey0=f(x0). Alorsg◦f admet un DL d’ordrepau voisnage dex0. On

´ecrit le DL def au voisinage dexcomme suit

f(x) =f(x0) + (x−x0)P(x−x0) +o((x−x0)^p),

avecPun polynˆome de degr´ep−1, et on ´ecrit le DL degau voisinage deycomme suit g(y0) =Q((y−y0)) +o((y−y0)^p),

avecQ un polynˆome de degr´ep.

On a

g(f(x0)) =Trp{Q((x−x0)P((x−x0)))}+o(x−x0)^p,

o`u l’op´erateur de troncatureTrpconsiste `a ne conserver que les termes de degr´e inf´erieurs

`

apdu polynˆome.

Proposition 22(Composition des d´eveloppement limit´es)

Soitf : I −→Rune fonction d´erivable.

Si sa d´eriv´eef⁰admet un DL d’ordrepau voisinage dex0∈ I: f⁰(x) =c0+c1(x−x0) +· · ·+cp(x−x0)^p+o((x−x0)^p), alorsf admet un DL d’ordrep+ 1 au voisinage dex0∈ Iqui s’´ecrit f(x) =f(x0) +c0(x−x0) +c1

(x−x0)²

2 +· · ·+cp

(x−x0)^p+1

p+ 1 +o((x−x0)^p+1).

Si f admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenau voisinage dex0et sif⁰ admet un un d´eveloppement limit´e d’ordren−1 au voisinage dex0alors la partie

polynomiale de ce dernier s’obtient en d´erivant celle du d´eveloppement limit´e def. Th´eor`eme 10(Int´egration et d´erivation terme `a terme d’un DL)

Soitf : I−→Radmettant un DL ena:f(x) =c0+c1(x−a) +ck(x−a)^k+o((x−a)^k) o`ukest le plus petit entier≥2 tel que le coefficient dex<sup>k</sup>soit non nul. Alors l’´equation de la tangente `a la courbe def enaest :

y=c0+c1(x−a),

et la position de la courbe par rapport `a la tangente pourxproche deaest donn´ee par le signef(x)−y, c’est-`a-dire le signe deck(x−a)^k.

Proposition 23(position de la courbe par rapport `a sa tangente en un point)

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI=]x0,+∞[. On dit quef admet un DL en +∞`a l’ordrens’il existe des r´eelsc0,c1,· · ·,cntels que

f(x) =c0+c1

x +· · ·+cn

xⁿ +o(1 xⁿ).

D´efinition 21(DL en l’infini)

On suppose quef admet un DL en +∞(ou en−∞) :f(x) =c0+^c_x¹+_x^ck_k+o(_x¹_k) o`uk est le plus petit entier≥2 tel que le coefficient de ¹

x^k soit non nul. Alors, lim

x→+∞f(x)− (c0x+c1) = 0 (resp.x→ −∞). La droitey=c0x+c1est une asymptote `a la courbe def en +∞(ou−∞) et la position de la courbe par rapport `a l’asymptote est donn´ee par le signe def(x)−y, c’est-`a-dire le signe de ^ck

x^k−1.

Proposition 24(Position de la courbe par rapport `a une asymptote)