Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2014-2015
Math32 : Contrˆ ole continu
Jeudi 6 novembre - Dur´ee 1h30
Questions de cours. (5 points)
1. Enoncer le th´eor`eme de Cayley-Hamilton.
2. D´emontrer ce th´eor`eme lorsque la dimension est 3 et que la matrice consid´er´ee est diag- onalisable.
Exercice 1 ( 5 points)
Soitϕl’application deR3[X] dans R3[X] qui `a un polynˆomeP associe le polynˆomeϕ(P) d´efini par
ϕ(P)(X) =P(X+ 1).
1. Montrer que ϕest une application lin´eaire.
2. Donner la matrice A deϕ dans une baseB que vous aurez pr´ecis´ee.
3. Montrer que ϕest bijective et donner son application r´eciproque.
4. Donner la matrice B de ϕ−1 toujours dans la baseB.
5. En d´eduire la matrice inverse de A.
Exercice 2 ( 12 points) Soit A la matrice
1 0 0
−9 1 9 9 0 −8
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A.
2. D´eterminer les valeurs propres de A.
3. Montrer que A est diagonalisable.
4. Soit B une matrice de M3(R), diagonalisable sur Rtelle que B3 =A.
(a) D´emontrer que si λ est une valeur propre deB alors λ3 est une valeur propre de A.
(b) D´eterminer les valeurs propres deB et leur multiplicit´e.
(c) D´eterminer le polynˆome caract´eristique de B.
(d) En utilisant le th´eor`eme de Cayley-Hamilton exprimerB3comme combinaison lin´eaire deB et I (I est la matrice identit´e).
(e) En d´eduire une expression de B comme combinaison lin´eaire deA et I.
(f) D´eterminer B.
1
5. Soit C une matrice de M3(R), non diagonalisable sur R mais diagonalisable sur C telle que C3 =A
(a) D´emontrer que si λ(dans C) est une valeur propre de C alors ¯λ est aussi une valeur propre de C.
(b) D´eterminer les valeurs propres deC et leur multiplicit´e.
(c) D´eterminer le polynˆome caract´eristique de C.
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