MPSI 2
Exercice 1 Combinatoire
En généralndésigne un entier naturel.
1. En considérant(1−1)n, calculerPn= X
0≤2k≤n
n 2k
etIn= X
0≤2k+1≤n
n 2k+ 1
.
2. Calculer Sn =
n
X
k=0
k n
n−k
pour de petites valeurs de n. Démontrer par récurrence Sn+2 = 4(Sn+1−Sn).
3. Démontrer, pourp≤n,
n
X
k=p
k p
= n+ 1
p+ 1
. En déduire
n
X
k=0
k3.
4. Pournetpentiers, on définit une quantitéK(n, p)par :K(n,0) = 1,K(0, p) = 1etK(n+1, p+1) = K(n+ 1, p) +K(n, p+ 1). MontrerK(n, p) =
n+p n
= n+p
p
. 5. Soita, b∈R. Calculer X
1≤i≤j≤n
j i
aibj.
6. CalculerS =
n
X
k=0 n
X
i=k
n i
i k
.
Exercice 2 Exponentielle et logarithmes 1. Résoudreln|x+ 1| −ln|2x+ 1| ≤ln 2.
2. Pour a∈R∗+ eta6= 1, résoudre l’inéquationlna(x)<lna3(3x−2).
3. Démontrer, pourxdansR∗+,ln(x)≤x−1puis, en considérant1/x, x−1
x ≤ln(x)≤x−1.
4. En utilisant la question précédente, comparer πeeteπ. 5. Soit(a, b)∈R2et 1< a≤b. Montrerba−1≤ab−1. 6. Résoudrelogx(10) + 2 log10x(10) + 3 log100x(10) = 0.
Exercice 3 Fonctions trigonométriques 1. Calculercos(π/9) cos(2π/9) cos(4π/9).
2. Montrer sin(π/10) cos(π/5) = 1/4.
3. Montrer cos(π/12) + sin(π/12) cos(π/12)−sin(π/12) =√
3.
4. Siα,β etγsont les trois angles au sommet d’un triangle, montrersin(α+β) = sin(γ)etsin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sin(α) sin(β) sin(γ).
5. Montrer que, pour toutxréel, on asin(x) + sin x+2π3
+ sin x+4π3
= 0.
6. Montrer que, pour toutxréel, on asin(x) + 2 sin(3x) + sin(5x) = 4 cos2(x) sin(3x).
7. Montrer ∀x∈R∗, arctan(x) + arctan x1
= sgn(x)π2.
8. Montrer, pourxetyréels vérifiant|arctan(x) + arctan(y)| ≤ π2, l’assertionarctan(x) + arctan(y) = arctanx+y
1−xy
. Que dire dans les autres cas ?
9. Résoudre l’équation en xréel, arctan(x)−arctan x3
= arccos x2 .
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Exercice 4 Moyennes (*)
Soit(x1, . . . , xn)des réels strictement positifs. Pourk∈R∗, on notefkla fonction deR∗+dans lui-même qui àxassociexk etf0= ln(deR∗+ dansR). Ce sont des bijections et on définit la moyenne d’ordre k de(x1, . . . , xn)par la formule :
Mk(x1, . . . , xn) =fk−1
fk(x1) +. . .+fk(xn) n
. 1. Montrer que toutes ces formules ont un sens et qu’on a M0(x1, . . . , xn) = √n
x1. . . xn. On parle de moyennes géométrique (k= 0), arithmétique (k= 1), quadratique (k= 2) ou encore harmonique (k=−1).
2. On supposen= 2, montrerM0≤M1.
3. En déduire que, pournune puissance de 2, on a encoreM0≤M1.
4. Montrer, en notant µ=Mk(x1, . . . , xn), qu’on aµ=Mk(x1, . . . , xn, µ, µ, . . . , µ) où le nombre de µest arbitraire.
5. En déduire qu’en toute généralité M0 ≤ M1, i.e. la moyenne géométrique de tout n-uplet de réels strictement positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique. On pourra comparer M0(x1, . . . , xn, µ, µ, . . . , µ)etM1(x1, . . . , xn, µ, µ, . . . , µ)pourµ=M1(x1, . . . , xn).
6. En déduireM−1≤M0 et doncM−1≤M0≤M1.
7. Reprendre l’étude et montrer que le seul cas d’égalité (en dehors den= 1) est obtenu lorsque tous les réels considérés sont égaux.
8. Quel est la valeur minimum de la quantité (Pn
i=1xi) Pn i=1x−1i
pour lesxi variant dansR∗+? 9. Montrer 1 +x≤
1 +x n
n
≤ 1
1−x (on précisera le domaine de validité de chacune de ces deux inégalités). Quelle est la limite de cette inégalité (pourntendant vers+∞) ?
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