Première générale Travaux Dirigés 6 2019-2020
Exercice 1⊲ Rappels de seconde
ABCD est un carré de côté 12 que l’on a quadrillé de façon régulière.
1. Placer les pointsF, G, H etI tels que :
• −→
AF = 2−→
AE;
• −→
AG= 1 2
−→AJ;
• −−→
AH = 2−→
AE+1 2
−→AJ;
• −→ AI =−→
AE+−→
AT ;
2. Lire sur le graphique les réels xetytels que −→
AT =x−→
AJ+ y−→
AE.
3. En déduire, par le calcul, les réels x′ et y′ tels que
−→
AI =x′−→
AJ+y′−→
AE
A E
b b
b bb
b b
J
D C
B
T
• • •
Exercice 2⊲ Rappels de seconde
Sur la figure ci-dessous :
• ABCD est un rectangle de centre 0 ;
• Les points I, J, K et Lsont les milieux respectifs des seg- ments [BC],[CD],[DA] et [AB] ;
• Les segments [IJ] et [AC] se coupent au point M. 1. Exprimer chacun des vecteurs −−→
OM et −−→
OD en fonction de
−→
OI et −→
OJ.
2. Exprimer chacun des vecteurs −−→
OM et −−→
OD en fonction de
−→LB et−→ LJ.
3. Exprimer chacun des vecteurs −−→
OM et −−→
OD en fonction de
−→
OI et −→
OC.
A L B
K O
I M
D J C
b b
b
b bb
b bb
b
• • •
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Première générale Travaux Dirigés 6 2019-2020
Règle du parallélogramme
Dessiner un représentant −→v1 du vec- teur −→v à partir de l’extrémité de −→u. Construire le vecteur −→w =−→u +−→v1. Proposer une méthode de construction de−→w directement à partir des vecteurs
−
→u et −→v.
−
→u
−
→v
Plusieurs caractérisations du milieuI d’un segment [AB] I est le milieu de [AB] ⇔. . . .
⇔. . . .
⇔. . . .
Exercice 3⊲ Activité de synthèse
On considère un triangle non aplati ABC. Le point Dest tel que −−→
AD= 2(−→
AB+−→
AC) etI est le milieu de [AB] et J celui de [CD].
1.(a) Faire une figure.
(b) Il s’agit maintenant construire le pointEtel que 3−−→ EB+
−−→
ED =−→0 (1). Le point E à construire est présent dans les deux vecteurs de la somme précédente. En utilisant la relation de Chasles, « introduire » le point B dans le vecteur −−→
ED de la relation (1). Quelle nouvelle relation obtenez-vous ? Permet-elle de construire le point E? (c) Le pointF à construire vérifie 3−→
F A+−→
F C =−→
0 . Proposer une technique permettant d’y parvenir.
(d) Construire le point K milieu du segment [EF].
2. Il s’agit dans cette question de prouver que les points K, I et J sont alignés et de préciser la position de K sur le segment [IJ].
(a) Écrire le vecteur−→
IK en fonction des vecteurs−→ IE et−→
IF.
(b) Décomposer les vecteurs −→
IE et −→
IF en utilisant respec- tivement les points B et A.
(c) L’utilisation de la relation de Chasles permet à ce stade d’exprimer −→
IK en fonction des vecteurs −→
ID et−→ IC. (d) Déterminer une relation de colinéarité entre les vecteurs
−→IK et−→
IJ. Conclure.
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