a) D´ eterminer les extrema locaux de la fonction

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2017/2018

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 6

Exercice 1.

a) D´ eterminer les extrema locaux de la fonction

f : R → R , x 7→ x ⁴ − x ³ + 1.

b) D´ eterminer les extrema locaux de la fonction

f : R → R , x 7→ x ³ − 6x + 1.

D´ eterminer l’image de l’intervalle [−2, 4].

c) D´ eterminer les extrema locaux de la fonction

f : R → R , x 7→ x ³ − 15x + 2.

D´ eterminer l’image de l’intervalle [−3, 5].

Exercice 2. On consid` ere la fonction d´ erivable

f : [3, 4] → R , x 7→ √ x.

a) Montrer que pour tout x ∈ [3, 4] on a 1

4 ≤ f ⁰ (x) ≤ 1 2 √

3 .

b) Utiliser l’in´ egalit´ e des accroissements finis pour donner un encadrement de √ 3.

Exercice 3. On consid` ere une fonction f : [2, 5] → R qui est d´ erivable. Supposons que f (2) = 3 et

−3 ≤ f ⁰ (x) ≤ 1 ∀ x ∈ [2, 5].

a) Montrer que

−6 ≤ f (x) ≤ 6 ∀ x ∈ [2, 5].

b) Supposons en plus que f (5) = 2. Am´ eliorer l’encadrement de f obtenu dans la question a).

Exercice 4. Utiliser la r` egle de l’Hospital pour calculer les limites suivantes : a) lim _x→0 ^−2x _4x

_+2x ^−5x

1

b) lim _x→∞ ^−2x _4x

+2x ^−5x

c) lim _x→0 ^sin _x ^x

d) lim x→∞ x log ( ^x+1 _x−1 ) e) lim _x→0 ^x−sin _{x sin x} ^x

Exercice 5. Soit f : R >0 → R une fonction d´ erivable. On suppose que lim _x→∞ f ⁰ (x) = l.

Montrer que la fonction ^f(x) _x converge quand x tend vers l’infini et

x→∞ lim f(x)

x = l.

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