ÉCS2
Extrema et formes quadratiques.
–1 - Recherche d’extrema pour une fonction C C C
222.
Sur une partie ...
...ouverte
Je détermine les points critiques, seuls points oùf peut
admettre un extremum local
Je résous▽(f) = 0
J’étudie la forme quadratique obtenue au second ordre aux éventuels points critiques.
Méthode de Gauss qcomme somme/différence
de carrés.
Spectre de ▽2(f)
⊂] 0 ; +∞[?
⊂]−∞; 0 [? vp des2 signes ?
...fermée et bornée
Les extrema sont soit dans l’ouvert intérieur, soit sur la
frontière.
Je cherche les extrema locaux sur l’intérieur (cf. ci-contre).
Je cherche les extrema def en parcourant la frontière.
Je compare les extrema obtenus sur la frontière à ceux obtenus à
l’intérieur (s’il y en a).
2 - Étude des formes quadratiques.
PrenonsQ (x1, x2, x3) =−3x21−3x22+ 2x23+ 2x1x2 etR (x1, x2) =−2x21+ 2x1x2−2x22.
Deux méthodes pour étudier si la forme quadratiqueqest définie positive, définie négative, ou de signe variable :
☞ La méthode de Gauss.
J’écrisqsous forme d’une somme ou différence de carrés, la première variable n’aparaissant que dans le premier carré, la seconde dans les deux premiers carrés, etc. .
Q (x1, x2, x3) =−3x21−3x22+ 2x23+ 2x1x2=−3
x1−1 3x2
2
−8
3x22+ 2x23 n’est ni positive, ni négative puisque Q (1,0,0) =−3<0tandis queQ (0,0,1) = 2>0
R (x1, x2) =−2x21+ 2x1x2−2x22=−2
x1−1 2x2
2
−3
2x22 est définie négative puisque R (x1, x2)60et R (x1, x2) = 0⇐⇒(x1, x2) = (0,0).
☞ Par diagonalisation de la matrice associée.
• MR=
−2 1 1 −2
est diagonalisable car symétrique réelle, son spectre(1) est Sp(MR) ={−3;−1}.
Sp(MR)⊂]−∞; 0 [doncRest définie négative.
• MQ=
−3 1 0
1 −3 0
0 0 2
est diagonalisable car symétrique réelle, son spectre(2) est Sp(MR) ={−4;−2; 2}.
MQpossède une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative : Qest de signe variable.
(1). La somme sur chaque ligne est égale à−1:−1est valeur propre et 1
1
est un vecteur propre associé. Comme Tr(MR) =−4etMRest diagonalisable, l’autre valeur propre est Tr(MR)−(−1) =−3...
(2). La dernière colonne montre que2est vp et
0 0 1
est un−→
vpassociée. La somme sur chacune des deux premières lignes vaut−2:−2est valeur
propre et
1 1 0
est un vecteur propre associé. Comme Tr(MQ) =−4etMQest diagonalisable, l’autre valeur propre est Tr(MQ)−2−(−2) =−4...
1/1 ●❏
