N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
W EILL
Sur quelques formes quadratiques
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 6 (1887), p. 85-87
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SIR QUELQUES FORMES QUADRATIQUES;
PAR M. WEILL.
T. L'expression
(6 —c)(X-h a)2H- ( c - a ) (
étant indépendante de\ il en résulte que tout nombre appartenant à la forme
(6 — c) a*-h(c — a) b*-±- (a
peut, d'une infinité de manières, être mis sous la forme
(b — c) X2-+- (c — a) Y2-4- (a — b)7J.
Par une transformation facile, on en conclut que
tout nombre de la forme
peut, d'une infinité de manières, se mettre sous la forme
px2-\- qy'2— (p -+- q)z2.
Ainsi, tout nombre de la forme m(i?i -f- i) est, d'une infinité de manières, de la forme
mx2-hy2— (m -+-i)z2.
De même, tout nombre de la forme 2m2 est, d'une infinité de manières, de la forme
x2-\- y2— iz2.
Jl est facile de généraliser cette méthode et d'en dé- duire un grand nombre de résultats.
JJ. Soit un nombre de la forme Il appartiendra aussi à la forme
\ 2 - f - Y2 -+- Z2 = (OLX -H PjK H- Y - )2
-f- (a'.r -f- p'j- -+- y'~)2-f- (a".r
si l'on a les égalités
A = a2+ a'2-f- a"2,
o — ay -f- a'y' -r- a" Y"
. o = pï + ?'Y'+?Y;
d ou 1 on tire
A = 0 = a^-h G = AB.
( 87)
Pour simplifier, nous ferons ftf/ = i-, d'où
B =
G = A B .
On a ainsi une solution très générale, mais non la solution complète du problème suivant :
Trouver les formes des entiers A, B, C qui soient telles que le nombre
soit une somme de trois carrés.
Ainsi le nombre
cst une somme de trois carrés *, de même,
O^2-H6JK2H-3O^2
est une somme de trois carrés, et ainsi de suite.
